Umwege in Polygonen - Universität Bonn

man leicht anhand von Abbildung 47 erkennt. Man kann also einfach in O(n log n) die Punkte
nach ihrer X-Koordinate sortieren, und anschließend die benachbarten Punktpaare in einem
linearen Durchlauf nach der maximalen Steigung durchsuchen.
Eine untere Schranke von Ω(n log n) lässt sich für den Fall k = 1 von Slope Selection
durch folgende Rückführung auf Element-Uniqueness bilden. Man nimmt die gegebenen
ganzen Zahlen z 1 , . . . , z n als X-Koordinaten und fügt als Y-Koordinaten jeweils y i := i hinzu.
Zwei ganze Zahlen sind damit genau dann gleich, wenn die zugehörige Steigung unendlich
wird. Analog kann man eine untere Schranke für das zugehörige Approximationsproblem
beweisen. Dabei führt man das Problem auf Element-Uniqueness für ganze Zahlen zurück.
Schließlich gelten die gefundenen unteren Schranken genauso für 2Sum, da die Rückführung
aus Gleichung (97) auch in Gegenrichtung funktioniert.
Übrigens entspricht die Dualität von 2Sum und Slope Selection derjenigen, die Langerman,
Morin und Soss in [LMS02] benutzen, um den exakten Algorithmus für polygonale
Ketten aufzustellen. Auch dort wird die Suche nach einem maximalen Umweg in eine Suche
nach einem Punktpaar maximaler Steigung umgewandelt. Der entscheidende Unterschied
ist, dass der in [LMS02] bei der Konstruktion der Kegel betrachtete Fall um eine Dimension
komplexer ist. Auch das Verfahren aus [AKKS02] basiert auf einer analogen Idee.
Außerdem sei noch erwähnt, dass 2Sum eng verwandt mit einem weiteren in der Literatur
auftauchenden Problem ist. In [EH97] suchen Eppstein und Hirschberg das Maximum von
Brüchen von Teilsummen, in denen die durchlaufene Indexmenge nicht zusammenhängend
sein muss. Sie erreichen eine lineare Lösung, wenn sie verlangen, dass die betrachteten Zahlen
positiv sind, und dass die untersuchten Indexmengen eine vorgegebene Größe haben. Gesucht
ist also eine Indexmenge I ⊆ {1, . . . , n} mit |I| = n − k und:
∑
∑ i∈I a i
i∈I b i
∑
j∈J
= max
a j
∑
J⊆{1,...,n},|J|=n−k
j∈J b j
Mit der Erwähnung dieses Problems, das wegen der Freiheit der gesuchten Indexmenge
leider nicht sinnvoll in Abbildung 46 integriert werden konnte, schließen wir die Betrachtungen
zur Klassifikation der Problemstellung und beenden damit auch das Kapitel unterer
Laufzeitschranken.
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