Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Betrachte dann die kreisförmigen Gebiete B |ab|
(a) = { x ∈ R 2 | |ax| ≤ ∣ ∣ ab
∣ ∣
}
, B|ad| (a),
B |bc|
(c) und B |cd|
(c). Liegt auch der zweite Punkt des Punktpaares (b, d) mit seinen x-
Koordinaten zwischen a und c, d.h. gilt 0 < b x ≤ d x < |ac|, so ergibt sich eine Situation wie
in Abbildung 19, sonst sieht sie aus wie in Abbildung 20.
a = a ′
B |bc|
(c)
B |ab|
(a)
d
B |cd|
(c)
c = c ′
b
B |ad|
(a)
Abbildung 20: linsenförmige Gebiete bei b x ∉ [a x , c x ]
Damit alle beteiligten Endpunktabstände nicht größer werden, müssen offensichtlich b ′
in B |ab|
(a) ∩ B |bc|
(c) und d ′ in B |ad|
(a) ∩ B |cd|
(c) liegen. Diese linsenförmigen Gebiete sind
in den Abbildungen 19 und 20 hellgrau eingefärbt. In diesen Gebieten hat aber nur (b, d)
und das an der X-Achse dazu gespiegelte Punktpaar den geforderten Abstand ∣ ∣bd ∣ ∣. Formal
ausgedrückt:
(
) (
)
(40) ∀(b ′ , d ′ ) ∈ B |ab|
(a) ∩ B |bc|
(c) × B |ad|
(a) ∩ B |cd|
(c) :
∣
∣b ′ d ′∣ ∣ < ∣ ∣bd ∣ ∨ (b ′ , d ′ ) = (b, d) ∨ (b ′ , d ′ ) = ((b x , −b y ), (d x , −d y ))
Dies scheint anschaulich klar, wird aber auch im Anschluss noch formal bewiesen. Damit
sind dann auch die Ungleichung (39) und Lemma 6.1 bewiesen.
Wenden wir uns dem formalen Beweis der Aussage (40) zu. Wir wollen dazu den maximalen
Punktabstand der Ränder der linsenförmigen Gebiete untersuchen. Es ist klar, dass
man für Punktpaare (b ′ , d ′ ) aus dem Innern der linsenförmigen Gebiete durch Verlängerung
der Strecke b ′ d ′ auf die Ränder immer zwei Punkte mit echt größerem Abstand findet. Also
gilt:
(
) (
)
∀(b ′ , d ′ ) ∈ B |ab|
(a) ∩ B |bc|
(c) × B |ad|
(a) ∩ B |cd|
(c) : ∣ (41) b′ d ′∣ ∣ <
{ ∣∣b
max
′′
d ′′∣ ∣ ∣ (
) (
)}
∣ b ′′ ∈ ∂ B |ab|
(a) ∩ B |bc|
(c) , d ′′ ∈ ∂ B |ad|
(a) ∩ B |cd|
(c)
Das Randmaximum kann aber nur von Punktpaaren angenommen werden, dessen Punkte
in den Knicken der linsenförmigen Gebiete liegen, d.h. in Punkten, in denen sich die an
dem Gebiet beteiligten Kreise schneiden. Ansonsten würde nämlich folgende Argumentation
greifen.
Sei (b ′′ , d ′′ ) ein Randpunktpaar der linsenförmigen Gebiete mit maximalem Abstand, bei
dem d ′′ nicht in einem Knick liegt. Dann liegt d ′′ auf einem Rand, der in einer Umgebung
um d ′′ einem Kreis K um a oder c entspricht. Sei o.B.d.A. a der Kreismittelpunkt. Betrachte
außerdem den Kreis K |b ′′ d ′′ | (b′′ ) um b ′′ mit dem Radius ∣ ∣ b
′′
d ′′∣ ∣ . Die beiden Kreise schneiden
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