Das Grundwasser im schwäbischen Donautal - Bayerischer ...

Numerisches Modell
Erläuterung zum numerischen Verfahren I Mathematische Formulierung mit der Finite­
Differenzen-Methode
Basis der mathematisch-physikalischen Formulierung ist das Darcysche Gesetz:
v 1 = k 1 • dhldx [mls]
mit: v 1
= Filtergeschwindigkeit (Darcy-Geschwindigkeit) in mls
(nicht Abstandsgeschwindigkeit va)
= Durchlässigkeitsbeiwert in mls
dhldx = GW-Standdifferenz dh auf dem Weg dx (hydraulisches Gefälle).
Der Volumenstrom (GW-Fiuß 0) durch eine Fläche (A) ist:
0 = A · v 1 [m 3 1s].
Damit fließen zwischen den Nachbarpunkten eines zweidimensionalen Rasters (Modellnetzes) bei
einer Mächtigkeit des Grundwasserleiters (Aquifermächtigkeit [m]) und einer Maschenweite dx
folgende Volumenströme:
0 (-1 ,j) = m · dx · k 1 · (h(i,j)- h(i-1 ,j)) I dx
0 (i+ 1 ,j) = m · dx · k 1 · (h(i,j)- h(i+ 1, j)) I dx
0 (i,j-1) = m · dx · k 1 · (h(i ,j)- h(i ,j-1)) I dx
0 (i ,j+ 1) = m · dx · k 1 • (h(i,j)- h(i,j+ 1)) I dx
Die Summierung aller Teilvolumenströme zu einem Rasterknoten muß nach dem Gesetz der Massenerhaltung
innerhalb eines betrachteten Zeitschrittes gleich dem Volumen sein, das in einem
Rasterbereich entnommen bzw. hinzugefügt oder - im instationären Fall - im Boden gespeichert
wird. Die Speicherung Os wird dabei je nach Grundwasserstandsentwicklung den Entnahmen oder
der Einspeisung (Infiltration, Versickerung) zugerechnet:
Os
= S · (h(i ,j)- h'(i,j)) I dt
mit: dem Speicherkoeffizienten S (nutzbarer Hohlraumanteil P n; effektiver Porenanteil n)
dem Potential h'(i ,j) des vorangegangenen Zeitschrittes
der Zeitschrittlänge dt.
Bei Ansatz mehrerer vertikaler Knotenebenen (Layer) entsteht ein dreidimensionales Modellgitter.
Jeder Knotenpunkt ist somit durch drei Koordinaten i, j und k definiert. Die vorgenannten Berechnungen
und zugrundliegenden Formeln werden sinngemäß um die vertikale Komponente erweitert.
ln Abb. 22 werden die vorgenannten Angaben für einen Netzknoten eines dreidimensionalen Netzes
verdeutlicht.
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