supraleitender Halbwellenresonatoren zur Beschleunigung leichter Ionen

k
() t
6-85
U dt U
I = CU
∫
+
& k k
k
+
L R
. (6.5)
L
Die „loaded shunt impedance“ R L ergibt sich aus der Parallelschaltung von R und dem
transformierten Abschlusswiderstand Z 0 ’ des Zirkulators. Nach Differenzierung und Ersetzen
der Ersatzschaltbildgrößen L und C durch die resonatorspezifischen Größen Q L und ω 0
ergibt sich die klassische Differentialgleichung einer gedämpften Schwingung:
U&
ω
0
ω R
+
k 0 k
k
. (6.6)
Q
Q
() t U&
2
L
() t + ω U () t = I&
() t
& 0
k
L
L
Nach [Schilcher98] lässt sich diese Gleichung in Real- und Imaginärteil aufteilen, und man
erhält unter Elimination der HF-Schwingung und höherer Ableitungen das Verhalten der
Einhüllenden, welches zur Simulation des Regelverhaltens ausreichend ist:
& I , (6.7)
U
k r
+ ω
1/
2U
k r
+ ∆ωU
k i
= RLω1/
2
k r
& I
(6.8)
U
k i
+ ω
1/
2U
ki
− ∆ωU
k r
= RLω1/
2
ω
mit ω = und ∆ω
= ω
0
−ω
die Verstimmung der Kavität. Die Indices r und i stehen
1/ 2
2Q 0
L
für Real- bzw. Imaginärteil von Kavitätsspannung und Strom. Hierbei kann nicht nur eine
konstante Verstimmung berücksichtigt werden, sondern auch Verstimmungen durch
Mikrophonie, Lorentzkraft und Resonanzfrequenzänderungen durch Druckvariationen.
Die zur Simulation benutzte Stromeinhüllende setzt sich aus dem transformierten Generatorstrom
und dem zeitlich veränderbaren Strahlstrom unter Berücksichtigung der synchronen
Phase zusammen. Betrachtet man das Hochfrequenzverhalten der Sender-Zirkulator-
Anordnung, so folgt für den Strom I g : I g = I for - I ref mit I for = Vorwärtsstrom und I ref =
relektierter Strom. Die Spannung U g am Koppler ist bestimmt durch U g = Z 0 *(I for +I ref ). Durch
die Transformation des Kopplers ergibt sich auf der Resonatorseite:
g
g
k i
( I I )
U ′ = NU = NZ0 +
(6.9)
for
ref
und I g´ = (I for - Iref )/N. U g´ entspricht dabei U k , also der Spannung an der Kavität, die sich mit
Hilfe der Impedanz Z = R||C||L und dem Strom I k = I g´-I beam durch die Kavität ergibt zu
⎛ I − I ⎞
= . (6.10)
⎝ N ⎠
for ref
U
k
Z⎜
− Ibeam
⎟ ≡ U′
g
Aus Gl. (6.9) und (6.10) folgt nach Elimination des Stromes I ref und mit Berücksichtigung von
Gl. (6.4):