Kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm thực tế - Ứng dụng đạo hàm - Ứng dụng hàm số lũy thừa - Hàm mũ và logarit - Khối đa diện - Khối tròn xoay Phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyên hàm - tích phân

Hình 3.14.2.c
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 3.56. Cho lưới <strong>đa</strong> giác của mô hình một khối tứ <strong>diện</strong>
đều có dạng như hình 3.14.1. Biết lưới là một tam giác đều
có cạnh 8cm. Tính thể tích của mô hình khối tứ <strong>diện</strong> đều
tạo thành.
Hình 3.14.1.a
• Nhận xét: Cạnh của lưới dài gấp đôi cạnh của mỗi mặt bên khối tứ <strong>diện</strong>.
Hình 3.14.1.b
Thể tích của khối tứ <strong>diện</strong>:
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
Dựng mô hình của khối tứ <strong>diện</strong> từ lưới <strong>đa</strong> giác đã cho. Ta
có <strong>độ</strong> dài các cạnh của tứ <strong>diện</strong>:
DA = DB = DC = AB = BC = CA = 4 (cm).
Gọi H là hình chiếu của D lên mặt phẳng (ABC).
3 3
2 2
Ta có: AH = AB. = 4. = 2 3 ( cm)
Xét tam giác DHA vuông tại H:
( ) ( )
2
2 2 2
DH = DA − AH = 4 − 2 3 = 2 cm .
1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 3 1 2 3 8 3
V = .S
ABC
.DH = . AB . . 2 = . 4 . . 2 = ( cm
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
) .
3 3
⎝
4
⎠
3
⎝
2
⎠
3
Bài 3.57. Cho lưới <strong>đa</strong> giác của mô hình một khối chóp tứ giác
đều có các mặt bên là các tam giác đều như ở hình 3.14.2.a.
a. Với các kích thước cho trên hình, hãy tính thể tích của mô
hình khối chóp tứ giác này.
b. Người ta cắt lưới <strong>đa</strong> giác này từ một miếng bìa hình
vuông (phần đứt nét trong hình 3.14.2.a). Tính <strong>diện</strong> tích
miếng bìa.
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
a. Dựng mô hình của khối chóp tứ giác đều S.ABCD từ
lưới đã cho với O là hình chiếu của S lên đáy.
Theo lưới, ta có được tất cả các cạnh của khối chóp này
đều bằng 2cm.
Tương tự <strong>bài</strong> 3.58, ta tính được thể tích khối chóp:
1
V = .S
ABCD.SO
3
1 1 2 4 2
= . 2 . SA − AO = . 2 . 2 − 2 = cm
3 3 3
( )
2 2 2 2 2 3
b. Độ dài cạnh miếng bìa hình vuông cũng là <strong>độ</strong> dài đoạn
thẳng AB.
A
.
2cm
Hình 3.14.2.a
Hình 3.14.2.b
M
N
B
3 3
AB = AM + MN + NB = 2. + 2 + 2. = 2 3 + 2 cm
2 2
( )
Bài 3.58. Cho lưới của một hình nón có các kích thước như
hình vẽ, tính thể tích mô hình của hình nón này.
• Nhận xét: <strong>độ</strong> dài 5cm trên hình chính là <strong>độ</strong> dài đường
sinh của hình nón.
o
• Độ dài cung <strong>tròn</strong> có góc ở tâm 90 , bán kính 5cm trên
hình chính là chu vi đáy, như vậy ta có thể tìm được bán
kính đáy.
Độ dài cung <strong>tròn</strong> có góc ở tâm
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
90 5
360 2
o
90 , bán kính 5cm: C = . 2π
. 5 = π ( cm)
Vì <strong>độ</strong> dài cung <strong>tròn</strong> vừa tìm cũng chính là chu vi đáy hình nón, gọi r (cm) là bán kính
5 5
2 4
đáy, ta có: 2π
r = π ⇒ r = ( cm)
.
Dựng mô hình của hình nón với đường sinh l = 5cm; bán kính đáy r = 5 cm , chiều cao
4
2 2 2 ⎛ 5 ⎞ 5 15
h l r ⎜ ⎟ cm .
⎝ 4 ⎠ 4
là h. Ta có: = − = 5 − = ( )
1 2 1 ⎛ 5 ⎞ 5 15 125 15 3
Thể tích khối nón: V = . πr .h = . π . ⎜ ⎟ . = π ( cm )
2
2
3 3 ⎝ 4 ⎠ 4 192
Bài 3.59. Cho một miếng bìa hình chữ nhật có kích thước 5cm x 3cm. Cuộn miếng bìa
lại theo chiều rộng rồi dùng băng dính để nối 2 mép miếng bìa, ta được mô hình của
một hình trụ. Tính thể tích hình trụ này?
3 cm
Hình 3.14.4
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
Tương tự <strong>bài</strong> 3.60, chu vi đáy <strong>và</strong> chiều cao của khối trụ lần lượt là chiều rộng <strong>và</strong> chiều
dài của hình chữ nhật. Gọi r (cm) là bán kính của đáy khối trụ, ta có:
2πr = 3 ⇒ r = 3 ( cm)
.
2π
5 cm
⎛ 3 ⎞
3
Thể tích khối trụ: V = B.h = ( 2 r ).h = ⎜ 2 . ⎟. 5 = 15 ( cm )
π π
⎝ 2 π ⎠
.
.
5cm
5cm
o
90
Hình 3.14.3
.