Kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm thực tế - Ứng dụng đạo hàm - Ứng dụng hàm số lũy thừa - Hàm mũ và logarit - Khối đa diện - Khối tròn xoay Phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyên hàm - tích phân

• Với thể tích khối chóp đã có, ta có thể <strong>giải</strong> phương trình để tìm ngược lại chiều cao
h.
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
Dựng mô hình của căn lều là khối chóp S.ABCD với S là
đỉnh lều, các cạnh bên SA, SB, SC, SD là các thanh tre
dùng để dựng lều. Gọi O là tâm của đáy, như vậy SO
chính là đường cao của khối chóp.
• Gọi h (m) là chiều cao của khối chóp, suy ra SO = h.
a 2
2
Gọi a (m) là <strong>độ</strong> dài cạnh của đáy thì: AO = ( m)
• Góc giữa các cạnh bên <strong>và</strong> đáy cũng chính là góc OAS:
= OS = h ⇒ = a 2 o
= a 2
75 ( 2 + 3 )
tanOAS h .tan
OA a 2 2 2
2
h 2
Suy ra a = = h 2 ( 2 − 3 ) <strong>và</strong> <strong>diện</strong> tích đáy là a = ( − )
2 + 3
3
• Với thể tích căn lều bằng 21.000 lít = ( m )
1 1
3
V = B.h ⇔ 21 = . 2( 7 − 4 3 ) h
3 3
63( 7 + 4 3 )
3
2 2
2 7 4 3 h .
21 , ta tính được chiều cao căn lều:
⇔ h =
2
⇔ h ≈ 7, 60 m
Trong <strong>bài</strong> tập này, ta nhận thấy dù có nhiều đại lượng quan trọng cần dùng để tính
<strong>toán</strong> thể tích như chiều cao hay <strong>độ</strong> dài cạnh đáy bị ẩn đi nhưng đề <strong>bài</strong> lại cho chúng
ta những thông tin để thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng này (như thể tích
hay <strong>số</strong> đo góc).
Do đó, ta có thể đưa <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> hình học về việc <strong>giải</strong> một hệ phương trình đại <strong>số</strong> để
xử lý <strong>bài</strong> <strong>toán</strong>. Thông thường, đại lượng mà đề <strong>bài</strong> yêu cầu tìm kiếm chính là một
trong các ẩn <strong>số</strong> trong hệ phương trình.
Nhân đây ta cũng nhắc lại một <strong>số</strong> đơn vị đo thể tích quen thuộc.
Bài tập tương tự
( )
3 3 3
1m = 1000dm = 1. 000. 000 cm
3
3
1 lít = 1 dm ; 1 ml = 1 cm
Bài 3.34. Một căn lều di <strong>độ</strong>ng có dạng là hình chóp tứ giác đều với phần khung gồm 4
thanh kim loại có chiều dài 6 m. Người dùng có thể tùy ý điều chỉnh góc dựng của
căn lều (góc giữa các thanh kim loại <strong>và</strong> mặt đất) tùy thích nhưng không thể thay đổi
chiều dài của các thanh khung.
a. Hỏi khi thể tích của lều là 2 3 m 3 thì chiều cao của lều là bao nhiêu? (Chiều cao
của lều là khoảng cách từ đỉnh lều đến mặt đất)
o
o
b. Nếu thay đổi góc giữa mỗi thanh khung <strong>và</strong> mặt đất từ 45 lên 60 thì tỉ <strong>số</strong> thể tích
của căn lều trước <strong>và</strong> sau khi đổi góc dựng là bao nhiêu?
c. Hỏi nên điều chỉnh góc giữa mỗi thanh khung <strong>và</strong> mặt đất là bao nhiêu để thể tích
lều đạt giá trị lớn nhất?
• Tương tự như <strong>bài</strong> tập 3.35, ở đây 2 đại lượng chưa biết mà ta sẽ sử <strong>dụng</strong> để tạo hệ
phương trình sẽ là chiều cao khối chóp <strong>và</strong> <strong>độ</strong> dài cạnh đáy.
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
a. Lần lượt gọi h (m) <strong>và</strong> a (m) là chiều cao <strong>và</strong> <strong>độ</strong> dài
cạnh đáy của khối chóp. Tương tự như <strong>bài</strong> tập 3.35 ta có:
• Tam giác SOA vuông tại O:
2 2 2 2 a
SO + OA = SA ⇒ h + = 6
2
2
(1)
• Thể tích của khối chóp là 2 3 m 3 :
1 1 2
V = B.h ⇒ 2 3 = .a .h
3 3
2 6 3
• Với h>0, ta có: a = , thay <strong>và</strong>o phương trình (1):
h
2 3 3 3
15 − 3 − 15 − 3
h + = 6 ⇔ h − 6h + 3 3 = 0 ⇔ h = 3 hay h = hay h =
h
2 2
Nhận xét: Do h là chiều cao nên phải bé hơn <strong>độ</strong> dài của thanh kim loại (là cạnh bên).
Vì vậy điều kiện của h là
0 < h < 6 .
−
Đối chiếu điều kiện, ta nhận 2 <strong>nghiệm</strong> là h = 3 ; h = 15 3 .
2
b. Khi thay đổi góc giữa thanh khung <strong>và</strong> mặt đất, rõ ràng chiều cao <strong>và</strong> <strong>độ</strong> dài cạnh
đáy của căn lều sẽ thay đổi, tuy nhiên có một đại lượng không đổi giá trị, chính là <strong>độ</strong>
dài của cạnh bên (thanh khung).
Như vậy để biết thể tích căn lều thay đổi thế nào khi góc dựng tăng lên, ta chỉ việc
biểu diễn thể tích theo góc dựng <strong>và</strong> <strong>độ</strong> dài thanh khung là được.
• Gọi α là góc dựng, ta có chiều cao căn lều: h = SA.sin α = 6 .sinα
<strong>và</strong> <strong>độ</strong> dài OA = h.cos α = 6 .cosα
suy ra <strong>độ</strong> dài cạnh đáy: a = OA 2 = 12 .cosα .
1
3
• Vậy thể tích căn lều: V = .B.h = 2 2 sinα. cos α = 2.sin( 2α
)
Gọi V o , V o là thể tích của căn lều khi <strong>số</strong> đo góc dựng là . Ta có:
45 60
c. Tiếp nối câu b, ta có : V .sin( α )
o
( )
( )
V 2.sin 2.
45
o
45
2 3
. = = .
V
o
o 2.sin 2.
60 3
60
= 2 2 ≤ 2 .
o o
Đẳng thức xảy ra ⇔ sin( α ) = ⇔ α = ⇔ α =
2 1 2 90 45 .
Bài 3.35. Một căn lều có dạng hình chóp lục giác đều với
o
phần khung gồm 6 thanh tre tạo với mặt đất một góc 60 .
Các mặt bên của lều được che kín bằng một lớp vải bạt,
riêng một mặt được cắt một <strong>diện</strong> tích hình tam giác cân như
.