Kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm thực tế - Ứng dụng đạo hàm - Ứng dụng hàm số lũy thừa - Hàm mũ và logarit - Khối đa diện - Khối tròn xoay Phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyên hàm - tích phân

Bài tập tương tự 1: Một nhà xuất bản nhận in 4000 ấn phẩm. Nhà xuất bản có tất cả 14
máy in được cài đặt, hoạt <strong>độ</strong>ng tự <strong>độ</strong>ng <strong>và</strong> giám sát bởi 1 kĩ sư. Mỗi máy in có thể in
được 30 ấn phẩm trong một giờ. Chi phí cài đặt máy in là 12 USD/máy, chi phí giám
sát là 9USD/giờ. Tính <strong>số</strong> máy in nhà xuất bản nên sử <strong>dụng</strong> để chi phí in là nhỏ nhất ?
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
1 ≤ x ≤ 14 .
Gọi x là <strong>số</strong> máy in mà nhà xuất bản sử <strong>dụng</strong> ( )
Chi phí lắp đặt là
12 x
Số giờ để sản xuất đủ <strong>số</strong> ấn phẩm là
4000 1200
Chi phí giám sát là 9.
= 30 x x
4000
30x
Chi phí sản xuất = Chi phí lắp đặt + Chi phí giám sát = 12 x + 1200
x
Đặt C ( x)
= 12 x + 1200 . Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm min C ( x ) = ?
x
x ∈⎡
⎣ 1;
14⎤
⎦
Ta có: C' ( x ) = − 1200
,C'( x)
x x
x
= ⇔ 2
12 0 = 100 ⇔ = 10 > 0 .
2
Lập bảng biến thiên, ta được
x 1 20 14
C ' ( x)
− 0 +
C ( x )
240
Dựa bảng biến thiên ta có: ( ) ( )
min C x = C 10 = 240 USD
∈ ⎣ ⎦
x ⎡1;
14⎤
Bài tập tương tự 2: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gửi trong
kho là 10USD một cái một năm. Để đặt hàng nhà sản xuất thì mỗi lần chi phí cố định là
20USD, cộng thêm 9USD. Biết rằng <strong>số</strong> lượng tivi trung bình gửi trong kho bằng một
nửa <strong>số</strong> tivi của mỗi lần đặt hàng. Như vậy cửa hàng nên đặt hàng nhà sản xuất bao
nhiêu lần mỗi năm <strong>và</strong> mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là thấp nhất ?
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
Gọi x là <strong>số</strong> tivi mỗi lần đặt hàng thì x ∈ ⎡ ⎣ 1;
2500 ⎤ ⎦
Khi đó, <strong>số</strong> lượng tivi trung bình gửi trong kho sẽ là x . Do đó, chi phí gửi hàng trong
2
x
khi mỗi năm sẽ là 10. = 5x
.
2
Số lần đặt hàng mỗi năm sẽ là
2500 .
x
Do đó chi phí đặt hàng mỗi năm sẽ là ( )
Suy ra, chi phí hàng tồn kho là C ( x)
Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của ( )
+ 2500
x .
x
= 50000
20 9
x
+ 22500
50000
= 5x
+ + 22500
x
C x với x ∈ ⎡ ⎣ 1;
2500 ⎤ ⎦
Ta có: ( ) ( )
( tm)
( )
50000
⎡ x = 100
2 2
C' x = 5 − ,C' x = 0 ⇔ x = 100 ⇔ ⎢
2
x ⎢⎣
x = −100
ktm
100000
Do C'' ( x ) = > , ∀x ∈ ⎡ ; ⎤
x 3
0 ⎣ 1 2500 ⎦ nên min C ( x) = C ( 100)
= 23500
x ∈⎡
⎣ 1;
2500⎤
⎦
2500
Khi đó <strong>số</strong> lần đặt hàng mỗi năm sẽ là = 25 lần.
100
Vậy để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất thì cửa hàng cần đặt hàng 25 lần mỗi năm <strong>và</strong>
100 cái mỗi lần.
Bài <strong>toán</strong> 21. Một doanh nghiệp chuyên sản xuất một loại sản phẩm, biết nhu cầu của
P
thị trường <strong>và</strong> chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là Q = 5000 − ,
3
2
C Q = Q + 2200Q
+ 500 , trong đó Q là <strong>số</strong> sản phẩm <strong>và</strong> P là giá bán của một sản
( )
phẩm. Hãy xác định mức thuế t cần định trên một đơn vị sản phẩm sản xuất ra sao cho
thu được lợi nhuận là cao nhất.
Phân tích: ta có thể tổng quát <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> như sau
● Giả sử một xí nghiệp sản xuất <strong>độ</strong>c quyền một loại sản phẩm có <strong>hàm</strong> cầu trong một
Q = Q P <strong>và</strong> <strong>hàm</strong> chi phí sản xuất trong một đơn vị thời gian là
đơn vị thời gian là ( )
C C ( Q)
= . Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được
nhiều thuế nhất.
● <strong>Phương</strong> <strong>pháp</strong> <strong>giải</strong>: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t > 0.
Ta có Q = Q( P) ⇒ P = P ( Q)
Lợi nhuận của xí nghiệp là N = Q.P ( Q) − C ( Q)
− Q.t
Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức Q = Q ( t)
để ( )
Do đó thuế thu được sẽ là T t.Q ( t)
N Q đạt giá trị lớn nhất.
= từ đây ta xác định t để T
max
Hướng dẫn <strong>giải</strong>.
Gọi Q là <strong>số</strong> sản phầm mà doanh nghiệp cần sản xuất
P
Khi ấy ta có Q = 5000 − ⇒ P = 15000 − 3Q
3
Gọi t là mức thuế cần định trên một đơn vị sản phẩm sao cho thuế thu được là cao
= t.Q .
nhất. Ta có thuế mà doanh nghiệp phải nộp là T ( t)
Doanh thu mà doanh nghiệp có được sẽ là ( ) = = ( 15000 − 3 )
D Q P.Q Q .Q
Suy ra lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được sẽ là: L( Q) = D( Q) − C ( Q) − T ( t)
2 2
⇒ ( ) = ( 15000 − 3 ) − ( + 2200 + 500)
− = − 4 + 12800 − 500 −
L Q Q Q Q Q tQ Q Q tQ
Để công ty nộp thuế cao nhất trước hết lợi nhuận thu được của doanh nhiệp là cao nhất
⎧ ⎪L' ( Q)
= 0 ⎧− 8Q + 12800 − t = 0 1
khi đó ta cần ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ Q = 1600 − t
L'' ( Q)
< ⎩ − 8 < 0 8
⎪⎩
0
Vậy thuế mà doanh nghiệp phải nộp là ( )
t t
T t tQ t ⎛
2
⎞
= = ⎜1600 − ⎟ = − + 1600t
⎝ 8 ⎠ 8