Kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm thực tế - Ứng dụng đạo hàm - Ứng dụng hàm số lũy thừa - Hàm mũ và logarit - Khối đa diện - Khối tròn xoay Phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyên hàm - tích phân

Bình luận: trong kinh doanh ta thấy tùy <strong>và</strong>o từng thời điểm khác nhau, dựa theo nhu
cầu của thị trường mà các nhà kinh doanh không ngừng thay đổi chiến lược kinh
doanh của mình trong đó có những lúc “đại hạ giá” mà chúng ta vẫn thường quen với
tên gọi là “sale off”. Với tâm lý thích giá vừa túi tiền nên các ta luôn thấy các bảng
hiệu “sale off” (giảm giá) trưng bày trước rất nhiều cửa hiệu. Dĩ nhiên kinh doanh là
cả một sự tính <strong>toán</strong> nhiều biến <strong>số</strong> thay đổi từng giây, từng phút chứ không hẳn chỉ dựa
trên chất lượng tốt của sản phẩm v,v...
Bài tập tương tự 1: Một nhà sản xuất bóng đèn với giá là 30 USD, tại giá bán này
khách hàng sẽ mua 3000 bóng mỗi tháng. Nhà sản xuất dự định tăng giá bán <strong>và</strong> họ ước
tính rằng cứ giá mà tăng lên 1USD thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 bóng. Biết rằng nhà
sản xuất bóng đèn với chi phí 18USD mỗi bóng. Hỏi nhà sản xuất tăng giá bán là bao
nhiêu để lợi nhuận là lớn nhất ?
Gọi x là giá bán mới ( x > 30 ) .
Lượng tiền tăng trong giá bán là x − 30
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
Với giá bán mới, lượng bóng đèn bán ra hàng tháng sẽ giảm 100 ( x − 30 )
Số bóng đèn bán hàng tháng theo giá mới là 3000 − 100 ( x − 30 )
Lợi nhuận mỗi bóng sẽ là x − 18
Lợi nhuận thu được hàng tháng là ( )( )
Đặt ( )
2
f x = − x + x −
2
x − 18 6000 − 100x = − 100x + 7800x
− 108000
max f x = ?
100 7800 108000 với x > 30 . Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm ( )
Ta có f '( x) = − x + , f '( x)
= ⇔ x =
Lập bảng biến thiên ta suy ra ( ) ( )
200 7800 0 39 (USD)
max f x = f 39 = 44100 USD
x>
30
Vậy nhà sản xuất cần bán 39USD/ bóng để đạt được lợi nhuận cao nhất.
Bài tập tương tự 2: Một công ty nhận sản xuất 400.000 huy chương bạc nhân ngày kỷ
niệm lần thứ 30 Apollo 11 đổ bộ lên mặt Trăng. Công ty sở hữu 20 máy, mỗi máy có
thể sản xuất 200 huy chương/giờ. Chi phí lắp đặt máy để sản xuất huy chương là 80
USD/máy <strong>và</strong> tổng chi phí vận hành là 5,76 USD/giờ. Hãy biểu diễn chi phí sản xuât
400.000 huy chương bằng một <strong>hàm</strong> theo <strong>số</strong> máy đã dùng. Hãy ước tính <strong>số</strong> máy mà
công ty nên dùng để chi phí nhỏ nhất.
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
≤ x ≤ ,x ∈
C x là <strong>hàm</strong> tổng chi phí sản xuất
Gọi x ( 1 20 N ) là <strong>số</strong> máy sử <strong>dụng</strong> <strong>và</strong> ( )
tương ứng.
Chi phí lắp đặt các máy là 80 x
400000
Chi phí vận hành các máy là . 5 , 76
200x
Tổng chi phí = Chi phí lắp đặt + Chi phí vận hành C ( x)
Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> ( )
⇒ = 80 x + 11520
x
C x với x ∈ ⎡ ⎣ 1;
20 ⎤ ⎦
x>
30
( tm)
( )
11520
⎡ x = 12
Ta có C' ( x) = 80 − ⇒ C' ( x)
= 0 ⇔ ⎢
2
x ⎢⎣
x = −12
ktm
⎧ C ( 1)
= 11600
⎪
Đồng thời ⎨C ( 20)
= 2176 ⇒ max C ( x) = C ( 12)
= 1920 ⇔ x = 12
x ∈⎡
⎣ 1;
20⎤
⎪
⎦
⎪⎩
C ( 12)
= 1920
Vậy công ty nên sử <strong>dụng</strong> 12 máy để sản xuất thì tổng chi phí sẽ nhỏ nhất.
Bài <strong>toán</strong> 20. Giám đốc của một nhà hát A <strong>đa</strong>ng phân vân trong việc xác định giá vé
xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng, nó sẽ
quyết định nhà hát thu được lợi nhuận hay bị tổn thất. Theo những cuốn sổ ghi chép
của mình, Ông ta xác định rằng: nếu giá vé <strong>và</strong>o cửa là 20 USD/người thì trung bình có
1000 người đến xem. Nhưng nếu tăng tiền vé lên thêm 1 USD/người thì sẽ mất đi 100
khách hàng trong <strong>số</strong> trung bình. Biết rằng, trung bình, mỗi khách hàng dành 1,8USD
cho việc uống nước trong nhà hát. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần
tính giá vé <strong>và</strong>o cửa là bao nhiêu để thu nhập là lớn nhất ?
Phân tích:
● Gọi x là <strong>số</strong> tiền cần tăng thêm của giá vé <strong>và</strong>o cửa ( 20 USD ).
Nếu x < 0 thì có nghĩa là ta nên giảm giá vé.
● Khi đó tổng thu nhập của nhà hát sẽ bao gồm thu nhập từ việc bán vé <strong>và</strong> bán nước
uống. Dĩ nhiên khi tăng giá vé lên thì sẽ tác <strong>độ</strong>ng đến việc nhu cầu xem phim ở rạp. Và
lợi nhuận từ việc bán nước lại phụ thuộc <strong>và</strong>o <strong>số</strong> người đi xem.
Hướng dẫn <strong>giải</strong>.
Gọi x là <strong>số</strong> tiền cần tăng thêm của giá vé <strong>và</strong>o cửa ( 20 USD ).
Nếu x < 0 thì có nghĩa là ta nên giảm giá vé.
Khi đó tổng thu nhập của nhà hát gồm thu nhập từ việc bán vé <strong>và</strong> bán nước uống.
Ta xác định như sau: R( x) = ( 1000 − 100x)( 20 + x ) + 1, 8 ( 1000 − 100 x)
⇔ R( x)
= −100x 2 − 1180x
+ 21800 .
Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm giá trị lớn nhất của <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> R ( x ) với x ∈ R
59
R' ( x) = −200x − 1180,R' ( x)
= 0 ⇔ x = − = − 5,
9 < 0 .
10
R'' x = − 200 < 0 , ∀x
.
Lại có ( )
Do đó max R( x) R ( , )
= − 5 9 = 25281(USD)
Vậy, để tổng thu nhập là lớn nhất, nhà hát nên tính giá tiền mỗi vé là 20 − 5, 9 = 14,
1
(USD). Giá vé này sẽ hấp dẫn nhiều người đến xem hơn.
1000 − 100. − 5,
9 = 1590 khách hàng.
Cụ thể ( )
Khi đó tổng thu nhập lớn nhất là 25281(USD).
Bình luận: Cách khác: ( )
( ) ( )
2
R x = −100x − 1180x
+ 21800
( 10x
− 10x
− 118)
R x = 10x −10x
− 118 + 21800 ≤ + 21800 = 25281.
4
Dấu “=” xảy ra khi 10x = −10x − 118 ⇔ x = −5,
9 .
2