Kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm thực tế - Ứng dụng đạo hàm - Ứng dụng hàm số lũy thừa - Hàm mũ và logarit - Khối đa diện - Khối tròn xoay Phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyên hàm - tích phân

Qua tìm hiểu, tổng hợp <strong>và</strong> phân tích, tác giả nhận thấy các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> liên quan
đến việc sự <strong>dụng</strong> <strong>đạo</strong> <strong>hàm</strong> có thể chia thành 2 phần lớn:
Một là, các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> đã được mô hình hóa bằng một <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> <strong>toán</strong> học.
Qua các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra cho bạn đọc những dạng <strong>toán</strong>
thường gặp là gì ? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng <strong>dụng</strong> <strong>đạo</strong> <strong>hàm</strong> như thế nào
trong việc <strong>giải</strong> quyết <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> mà họ đã đặt ra ?
Hai là, các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> mà mô hình <strong>thực</strong> tiễn chưa chuyển về mô hình
<strong>toán</strong> học. Như chúng ta biết, để có thể ứng <strong>dụng</strong> <strong>đạo</strong> của <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> thì trước tiên ta phải
“thiết lập được <strong>hàm</strong> <strong>số</strong>”. Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây
Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết <strong>và</strong> yếu tố của đề <strong>bài</strong>, ta xây dựng mô hình
Toán học cho vấn đề <strong>đa</strong>ng xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” cho
mô hình mô phỏng <strong>thực</strong> tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều mô
hình <strong>toán</strong> học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống <strong>và</strong> mối liên hệ giữa
chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến <strong>số</strong>,
tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết
của đề <strong>bài</strong>.
Bước 2: Dựa <strong>và</strong>o các kiến thức liên quan đến vấn đề <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> như trong kinh <strong>tế</strong>,
đời <strong>số</strong>ng, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,... Ta thiết lập hoàn
chỉnh <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây trong nội dung <strong>đa</strong>ng
xét ta chỉ xét với tính huống 1 biến).
Bước 3: Sử <strong>dụng</strong> công cụ <strong>đạo</strong> <strong>hàm</strong> của <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> để khảo sát <strong>và</strong> <strong>giải</strong> quyết <strong>bài</strong>
<strong>toán</strong> hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến <strong>số</strong> <strong>và</strong> kết quả thu
được có phù hợp với <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> đã cho chưa .
Sau đây để bạn đọc hiểu rõ hơn, tác giả sẽ lấy các ví dụ minh họa được trình bày
theo các chủ đề ứng <strong>dụng</strong> <strong>đạo</strong> <strong>hàm</strong>:
● Trong Hình học (<strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 1 đến <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 11 ).
● Trong Vật lý (<strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 12 đến <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 17).
● Trong Kinh <strong>tế</strong> (<strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 18 đến <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 21).
● Trong Đời <strong>số</strong>ng <strong>và</strong> các lĩnh vực khác (<strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 22 đến <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 28).
Bài <strong>toán</strong> 1. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là a× b với a < b . Người ta cắt
bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp.
Hỏi cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn nhất
?
Phân tích:
PHẦN 1.2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ
● Trước tiên, với câu hỏi của <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> thì ta nên đặt x chính là cạnh của hình vuông
cắt đi. Như vậy ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến <strong>số</strong> x . Do khi đó 1 cạnh của tấm
a
a
nhôm sau khi bị cắt trở thành a − 2x > 0 ⇒ x < nên ta có 0 < x < .
2
2
● Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhôm
còn lại là b − 2x > 0 . Đến đây ta cần thiết lập công thức
tính thể tích khối hộp V = x ( a − 2x)( b − 2x)
● Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm ( )
max V x = ? . Mời bạn đọc xem lời <strong>giải</strong> !
⎛ a ⎞
x ∈⎜ 0 ; ⎟
⎝ 2 ⎠
Hướng dẫn <strong>giải</strong>.
● Gọi x là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện
x
a
a
0 < x <
2 .
Khi đó thể tích hình hộp là V x( a 2x)( b 2x) 4x 3 2( a b) x 2 abx V ( x)
● Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm max V ( x ) = ?
⎛ a ⎞
x ∈⎜ 0 ; ⎟
⎝ 2 ⎠
2
Đạo <strong>hàm</strong> V' = f '( x) = x − ( a + b)
x + ab
Ta có ' ( a b) 2 ab ( a 2 ab b
2
)
= − − = − + + = .
12 4 .
∆ = 4 + − 12 = 4 − + > 0 với mọi a, b .
Do đó V' = 0 luôn có hai <strong>nghiệm</strong> phân biệt
2 2 2 2
a + b − a − ab + b a + b + a − ab + b
x1 = < x2
=
.
6 6
⎧ a + b
x1 + x2
= > 0
⎪
Theo định lý Vi-et, ta có
3
⎨
⎪ ab
x x
⎪⎩
= >
1 2
0
12
suy ra 0 < x < x .
1 2
⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞
a
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = − = − < 0 . Do đó 0 < x1 < < x2
.
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2
2
Hơn nữa, ta có V ' f ' a ab a( a b)
Bảng biến thiên
x 0 x 1 a 2
V' ( x)
+ 0 −
V ( x )
max
● Dựa <strong>và</strong>o bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn nhất khi
2 2
a + b − a − ab + b
x = x
1
=
.
6
Bình luận: Qua <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> này ta cần lưu ý:
Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng. Chúng ta không nên
chỉ ghi x > 0 theo cách hiểu <strong>số</strong> đo đại <strong>số</strong> là một <strong>số</strong> dương.
b