Kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm thực tế - Ứng dụng đạo hàm - Ứng dụng hàm số lũy thừa - Hàm mũ và logarit - Khối đa diện - Khối tròn xoay Phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyên hàm - tích phân

Mặt khác ( )
2 2
a
b
S'' x = + > 0, ∀x ∈ 0 ; p
2
( )
( x + a 2
) b + ( p − x)
3 3
2 2 2 2
( )
⎛ ap ⎞
Do đó minS( x)
= S⎜ ⎟.
⎝ a + b ⎠
ap
Vậy để khoảng cách giữa hai thành phố là ngắn nhất thì x = a + b
.
Bình luận: ta thấy rằng chiều dài r của cây cầu là đại lượng bất biến <strong>và</strong> vấn đề là
chọn vị trí thuận lợi F hay vị trí thuận lợi E trong hình vẽ để tạo được quãng đường
ngắn nhất. Dĩ nhiên ta cũng đặt ra câu hỏi liệu rằng còn cách khác nữa hay không ?
Gọi B’ là ảnh của B qua phép tịnh tiến EF . Khi đó AB' ∩ CF = D
Với mọi vị trí đặt cây cầu EF ta luôn có:
BE + EF + AF = B'F + DK + AF ≥ DK + B'A = DK + B'D + DA = const
Dấu “=” xảy ra khi F D
⇔ ≡ . Khi đó 2 ( ) 2
S = B'A + EF = p + b + a + r
Bài tập tương tự 1: Hai thành phố A <strong>và</strong> B nằm ở hai phía khác nhau của một con sông
thẳng, lòng sông rộng 800m, thành phố A ở bên
phía phải cách bờ 6km <strong>và</strong> cách thành phố B
theo đường chim bay 16 km; thành phố B cách
bờ trái 1500m. Người ta muốn xây một cây cầu
CD vuông góc với bờ sông sao cho quãng
đường bộ từ A đến B (<strong>độ</strong> dài đường gấp khúc
ACDB) là ngắn nhất. Tính <strong>độ</strong> dài quãng đường
đó ?
(Trích đề thi HSG <strong>giải</strong> <strong>toán</strong> trên máy tính cầm
tay, Quảng Ninh, 2012)
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
Sử <strong>dụng</strong> kết quả quan trọng của <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> vừa rồi ta xác định đại lượng quan trọng p
(chính là đoạn BE song song dòng sông, BE vuông EA)
Khi đó p = AB − ( 6 + 0,8 + 1,5 ) 2
= đồng thời
2 9 231
10
Lúc này ( )
2 2 2
minS = x + a + r + p − x + b = 16,
4
Hoặc sử <strong>dụng</strong> kết quả của cách <strong>giải</strong> qua bất đẳng thức hình học :
2
ap 1,5.p 9 231
x = = =
a + b 1,5 + 6 50
2
( ) 2
S = p + b + a + r = 16, 4
Bài tập tương tự 2: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một
hòn đảo C <strong>và</strong> khoảng cách ngắn nhất từ B đến C là 1 km, khoảng cách từ B đến A là
4 km được minh họa bằng hình vẽ sau:
Biết rằng mỗi rằng km dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất
3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi
đến C là ít tốn kém nhất ?
15
A. km
4
13
B. km
4
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
10
C. km
4
Gọi x( km ) là khoảng cách từ S đến tới điểm B ⇒ SB = x( < x < km)
2 2 2
cách từ SA = 4 − x( km)
⇒ SC = BC + BS = 1 + x (km)
Chi phí mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là:
( ) ( )
Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> C ( x ) với
C x = 3000 4 − x + 5000 1 + x 2 , với 0 < x < 4
x ⎛
2
5000 5x − 3 1+
x ⎞
⇒ C' ( x)
= − 3000 + = 1000
2
+ x ⎜
2
1 + x ⎟
⎝ 1 ⎠
19
D. km
4
0 4 . Khi đó khoảng
0 < x < 4
2 2 2 2
( ) = 0 ⇔ 5 − 3 1 + =⇔ 3 1 + = 5 ⇔ 9( 1 + ) = 25 ( 0 < < 4 )
C' x x x x x x x do x
⎡ 3
⎢x
=
2 9
⇔ x = ⇔
4
⎢
do < x <
16 ⎢ x = −
⎢⎣ 4
( tm)
( ) ( 0 4 ) .Lại có: ( )
3
ktm
C'' x = 5000
> 0, ∀ x ∈ 0;
4 .
2
( 1+
x )
3
( )
⎛ 3 ⎞
Do đó min C( x)
= C =
x ∈( ; ) ⎜ ⎟ 16000 (USD).
0 4
⎝ 4 ⎠
3 13
Vậy, để chi phí ít tốn kém nhất thì điểm Sphải cách A là AB − BS = 4 − = km . 4 4
Bài <strong>toán</strong> 7. Giả sử bạn là chủ của một xưởng cơ khí vừa nhận được một đơn đặt hàng
là thiết kế một bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20 lít. Để tốn ít nguyên vật
liệu nhất, bạn sẽ chọn giá trị nào cho <strong>độ</strong> cao bồn nước trong các giá trị dưới đây ?
A.0,3 mét. B. 0,4 mét. C. 0,5 mét. D. 0,6 mét.
(Trích đề thi thử lần 4, Facebook: Group Toán 3K ,
2016)
Phân tích:
● Ta đặt ra 1 <strong>số</strong> câu hỏi định hướng như sau: