Kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm thực tế - Ứng dụng đạo hàm - Ứng dụng hàm số lũy thừa - Hàm mũ và logarit - Khối đa diện - Khối tròn xoay Phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyên hàm - tích phân

1. Cho <strong>hàm</strong> y f ( x)
= liên tục trên đoạn ⎡⎣ a;
b⎤⎦ .
Gọi (H) là hình thang cong giới hạn bởi các
đường sau:
( C) : y f ( x)
⎧ =
⎪
⎪y
= 0
( H ) : ⎨
⎪x
= a
⎪
⎩
x = b( a < b)
Thể tích khối <strong>tròn</strong> <strong>xoay</strong> được sinh ra do hình
(H) <strong>xoay</strong> quanh trục Ox.
b
2
V f x dx
= π ∫
a
( )
2. Cho 2 <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> y = f ( x)
<strong>và</strong> y g( x)
f ( x) g( x) 0, x ⎡a;
b⎤
= cùng liên tục trên đoạn ⎡⎣
a;
b⎤⎦ <strong>và</strong> thỏa điều kiện
≥ ≥ ∀ ∈ ⎣ ⎦ . Gọi (H) là hình phẳng
giới hạn bởi các đường sau:
( C) : y f ( x)
( C′ ) : y = g( x)
⎧ =
⎪
⎪
( H)
: ⎨
⎪ x = a
⎪
⎩
x = b( a < b)
Thể tích khối <strong>tròn</strong> <strong>xoay</strong> được sinh ra do hình phẳng
(H) quay quanh trục Ox:
b
2
V = π ⎡ f x
2
− g x ⎤ dx
∫
a
⎣
( ) ( )
⎦
1. Với một đại lượng f ( x ) biến thiên theo biến <strong>số</strong> x thì tốc <strong>độ</strong> thay đổi (vận tốc)
của f ( x ) theo biến x chính là <strong>đạo</strong> <strong>hàm</strong> f ′( x ) (với giả sử rằng f ′( x ) luôn tồn tại).
Ngược lại, khi biết tốc <strong>độ</strong> thay đổi f ′( x ) của một đại lượng f ( x ) thì có thể suy ra
mô hình <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> biểu thị cho đường đi của đại lượng đó bằng cách lấy nguyên <strong>hàm</strong>
của f ′( x ) . Nghĩa là
f ( x) = ∫ f ′( x)
dx
Kết hợp thêm các điều kiện ban đầu thích hợp để tìm ra f ( x ) một cách chính xác.
2. Khi biết tốc <strong>độ</strong> thay đổi f ′( x ) của một đại lượng f ( x ) . Sự chênh lệch giá trị của
đại lượng f ( x ) trong khoảng giá trị của biến x đi từ a đến b được xác định bởi công
thức:
b
f ( b) − f ( a) = ∫ f ′( x)
dx .
a
y
(H)
(C):y=f(x)
O a b
PHẦN B: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ
y
y=f(x)
y=g(x)
O a b
x
x
Đây là mấu chốt quan trọng để <strong>giải</strong> quyết các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> tiễn như khi biết tốc <strong>độ</strong>
tăng trưởng của một đại lượng, ta có thể tìm một <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> biểu thị <strong>số</strong> lượng của đại
lượng đó qua từng thời kì. Trong <strong>thực</strong> <strong>tế</strong>, nhiều <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> liên quan tới nội dung này
có thể kể đến như: sự chuyển <strong>độ</strong>ng của vật, sự gia tăng dân <strong>số</strong>, sự phát triển của vi
khuẩn, các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> về sản xuất <strong>và</strong> kinh doanh…
• Giả sử vật M chuyển <strong>độ</strong>ng trên quãng đường có <strong>độ</strong> dài là s trong khoảng thời
gian t. Khi đó, vật M chuyển <strong>độ</strong>ng với vận tốc trung bình là
s
v =
t
• Tuy nhiên, chúng ta gặp rất nhiều trường hợp vật chuyển <strong>độ</strong>ng không đều, vận
tốc thay đổi liên tục tùy theo vị trí <strong>và</strong> thời gian. Ví dụ xe chạy trên đường gặp
nhiều chướng ngại vật thì giảm tốc, chạy trên đường thông thoáng thì tăng tốc. Vì
vậy ta cần phương <strong>pháp</strong> tính đúng vận tốc của xe tại mỗi thời điểm.
• Giả sử v(t) là vận tốc của vật M tại thời điểm t, <strong>và</strong> s(t) là quãng đường vật đi
được sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển <strong>độ</strong>ng. Ta có mối liên hệ
giữa s(t) <strong>và</strong> v(t)
o Đạo <strong>hàm</strong> của quãng đường là vận tốc
s′ t = v t
( ) ( )
o Nguyên <strong>hàm</strong> của vận tốc là quãng đường
s( t) = ∫ v( t)
dt
• Từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t ∈ ⎡ ⎣ a;
b⎤
⎦ là:
b
∫ v( t) dt = s( b) − s( a)
a
• Nếu gọi a(t) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v(t) <strong>và</strong> a(t)
o Đạo <strong>hàm</strong> của vận tốc chính là gia tốc
v′ t = a t
( ) ( )
o Nguyên <strong>hàm</strong> của gia tốc chính là vận tốc
v( t) = ∫ a( t)
dt
Bài <strong>toán</strong> 1: (Trích đề minh họa 2017 của Bộ GD - ĐT). Một ô tô <strong>đa</strong>ng chạy với
vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển <strong>độ</strong>ng chậm dần
v t = − 5t
+ 10 m/s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
đều với vận tốc ( ) ( )
giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di
chuyển được bao nhiêu mét ?
A. 0, 2m B. 2m . C.10m . D. 20m .
Phân tích <strong>bài</strong> <strong>toán</strong>
• Ta có nguyên <strong>hàm</strong> của vận tốc v( t) = − 5t
+ 10
chính là quãng đường s( t ) mà ô tô đi được sau
thời gian t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh.
DẠNG 1: BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG
• Vào thời điểm ô tô bắt đầu đạp phanh ứng với