Kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm thực tế - Ứng dụng đạo hàm - Ứng dụng hàm số lũy thừa - Hàm mũ và logarit - Khối đa diện - Khối tròn xoay Phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyên hàm - tích phân

⎧V = const x,y,h = ?
2ky 2h
Nếu ⎨ ⎯⎯⎯⎯→ minS tp = ? ⇔ x = =
⎩h = ky, k > 0 k + 1 k + 1
Bài tập tương tự 1: Cần phải xây dựng một hố ga có dạng hình hộp chữ nhật có thể
tích V ( m 3
) , có chiều cao gấp 3 lần chiều rộng của cạnh đáy. Hãy xác định các kích
thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ?
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài <strong>và</strong> chiều cao của hình hộp
⎧V = hxy 6x 2h
x,y,h = ?
Dựa <strong>và</strong>o <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 3, ta có: ⎨ ⎯⎯⎯⎯→ minS tp = ? ⇔
⎩h = 3x, k > 0
y =
4
=
4
Như vậy khi đó chiều cao sẽ gấp lần 2 chiều dài khối hộp.
Bài tập tương tự 2: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch <strong>và</strong> xi măng
có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng <strong>và</strong>
không nắp, có chiều cao là h <strong>và</strong> có thể tích là 18 m 3 . Hãy tính chiều cao h của hồ nước
sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất ?
A. h = 1m B. h = 2 m C. h = 3 m
2
D. h m = 5 2
(Trích đề thi thử THPT Thanh Miện, Hải Dương, 2016)
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài <strong>và</strong> chiều cao của hình hộp
V V
● Theo đề <strong>bài</strong> ta có y = 3 x <strong>và</strong> V = hxy ⇒ h = xy
= 3x
2
Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho <strong>diện</strong> tích toàn phần
của hố ga là nhỏ nhất.
V V V
● Khi đó ta có: S = xh + yh + xy = x . x. x. x x
tp
x
+ x
+ = 8
x
+ 2
2 2 2 2 3 3 3
2 2
3 3
3
Cauchy
2
8V 2 4V 4V 2 16V
Ta có S = + 3x = + + 3x
≥ 3
3
= 36.
tp
3x 3x 3x
3
4V 2 4V V 3
Dấu “=” xảy ra khi <strong>và</strong> chỉ khi = 3x ⇔ x = 3 = 2 ⇒ h = = .Đáp án C.
3x 9
2
3x 2
Bình luận: so với <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 3, <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> này chỉ có 1 điểm khác biệt chính là đáy
“không nắp”. Bạn đọc có thể tổng quát <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> lên thành
⎧y = kx, k > 0 x,y,h = ?
⎨
⎯⎯⎯⎯→ minS
⎩V
= const
Bài <strong>toán</strong> 4. Có hai vị trí A,B nằm về cùng phía đối với bờ sông (d) như hình vẽ.
Khoảng cách từ A đến bờ sông là 30 m . Khoảng cách từ B đến bờ sông là 45 m .
Khoảng cách giữa A <strong>và</strong> B là 5 409 m .
Một người đi từ A đến bờ sông (phía A,B)
để lấy nước sau đó đi về vị trí B . Hỏi đoạn
đường tối thiểu người đó đi từ A đến B (có
ghé qua bờ sông) là bao nhiêu (đơn vị m) ?
Phân tích:
2
( ) ( )
⎯⎯→ ON = d A; BN = AB − BN − HN
(Bài <strong>toán</strong> từ tác giả Hứa Lâm Phong , 2016)
● Gọi M là điểm nằm trên cạnh ON (vị trí để từ
A đến để lấy nước từ bờ sông. Khi đó ta cần xác
định M sao cho ( AM + MB
) min
● Do đề <strong>bài</strong> đã cho <strong>độ</strong> dài AB,AO,BN nên ta có
thể mô tả <strong>độ</strong> dài cạnh AM theo OM (pytago
trong tam giác ∆ AOM ) . Tuy nhiên để biểu diễn
<strong>độ</strong> dài cạnh BM theo <strong>độ</strong> dài OM thì ta cần biểu
diễn MN theo OM . Điều này dẫn đến việc cần
phải tính <strong>độ</strong> dài ON = ?
2 2 2 2
● Đến đây ta nhận thấy biểu thức S = AM + MB = OA + OM + MN + NB
( )
2
2 2 2
⇒ S = x + 30 + 100 − x + 45 (với x = OM <strong>và</strong> 0 < x < ON )
f ( x)
Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm
( )
min f x = ?
( 0;ON)
x ∈
2
Hướng dẫn <strong>giải</strong>.
● Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BN.
2
Dựa <strong>và</strong>o hình vẽ ta có ON AH AB ( BN HN)
= = − − = 100
Gọi M là vị trí mà người đó đi từ A đến bờ sông, đặt OA = x( m)
( 0 < x < 100 )
Khi đó ta có đoạn đường tối thiểu mà người đó phải đi là:
2
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
S = AM + MB = OA + OM + MN + MB ⇒ S = x + 30 + 100 − x + 45
2 2 2 2
Đặt f ( x) = x + 30 + ( 100 − x)
+ 45 với ( 0 < x < 100 )
Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> f ( x ) với
x −( 100 − x)
⎡ x = 40
( )
f ' x
( )
= + , f ' x = 0 ⇔ ⎢
2 2 2
x + 30 12015 − 200x + x
⎢⎣
x = −200
Khi đó lập bảng biến thiên ta có
x 0 40 100
f ' ( x)
− 0 +
f ( x )
125
0 < x < 100
( tm)
( ktm)
Dựa <strong>và</strong>o bảng biến thiên, ta có: minS = min f x = f 40 = 125 m
( ) ( )
( 0 100) x ∈ ;
Bình luận: ngoài cách <strong>giải</strong> trên ta có thể sử <strong>dụng</strong> “bất đẳng thức tam giác” để <strong>giải</strong>
như sau: AM + MB = MA' + MB ≥ BA' ⇒ min( AM + MB)
= BA' ⇔ A', M ,B thẳng hàng.