Kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm thực tế - Ứng dụng đạo hàm - Ứng dụng hàm số lũy thừa - Hàm mũ và logarit - Khối đa diện - Khối tròn xoay Phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyên hàm - tích phân

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a (cm).
a
2 2
Suy ra: OA = ( cm) ⇒ SO = SA − OA = ( cm)
2 2
3
1 2 a a 3
Ta có: V
S.ABCD
= .a . = ( cm )
3 2 3 2
.
3 3
Theo đề <strong>bài</strong>: V = = 3 3 ⇔ = 3 3 ⇔ a = 9 6 ⇔ a = 9 6 ( cm)
S.ABCD
6 3
a
2 3 2
3
Suy ra <strong>độ</strong> dài cạnh của khối Pyraminx : a = . ≈ , ( cm)
3
a
.
3 3 9 6 8 41 .
Bài 3.44. Phần mái của một căn nhà có dạng là khối <strong>đa</strong> <strong>diện</strong> như hình vẽ (Hình
3.10.14.a). Bản vẽ hình chiếu của phần mái với phương chiếu vuông góc với sàn được
cho ở hình 3.10.14.b. Biết chiều cao của phần mái là 160 cm.
a. Tính thể tích của phần mái nhà.
b. Tính góc giữa các mặt của mái nhà với sàn phần áp mái.
.
• Đầu tiên, ta tính thể tích khối chóp A.EFNM:
1 1 64
V
AEFNM
= .S
EFNM
.d ⎡
⎣
A; EFNM
⎦
= . . . , = m
3 3 15
64 3
Suy ra VB.CDPQ
= V
A.FEMN
= ( m )
3
( ) ⎤ ( 4 2) 1 6 ( )
15
.
• Bây giờ, ta tìm thể tích khối lăng trụ tam giác đứng AMN.BPQ:
⎛ 1 128
VAMN.BPQ
= S
AMN
.MP = ⎜ .d A,MN .MN ⎟. = .d
⎣
A; FEDC
⎦
.MN = . , . = m
⎝ 2 ⎠
5
⎞
3
( ) 8 4 ⎡ ( ) ⎤ 4 1 6 4 ( )
(trong
đó do mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (FEDC), <strong>và</strong> MN là giao tuyến của 2
mặt phẳng này nên khoảng cách từ A đến MN cũng là khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(FEDC)).
• Vậy thể tích phần mái nhà:
3
( )
128 64 512
VFAE.CBD = VAMN.BPQ + VA.FEMN + V
B.CDPQ
= + 2. = m
5 15 15
Hình 3.10.14.a
Hình 3.10.14.b
Nhận xét khối <strong>đa</strong> <strong>diện</strong> của chúng ta không nằm trong <strong>số</strong> các khối chóp hay lăng trụ đã
biết, như vậy để tính thể tích của khối này ta nên chia nó ra thành các khối quen thuộc.
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
a. Dựng mô hình của mái nhà là khối <strong>đa</strong> <strong>diện</strong>
AEF.BDC.
Qua A dựng mặt phẳng vuông góc với
(CDEF) <strong>và</strong> song song với EF, cắt ED <strong>và</strong> FC tại
M <strong>và</strong> N.
Tương tự, dựng mặt phẳng qua B vuông góc
với (CDEF) <strong>và</strong> song song với CD, cắt ED <strong>và</strong> FC
tại P <strong>và</strong> Q.
Lúc này khối <strong>đa</strong> <strong>diện</strong> AEF.BDC được chia
Hình 3.10.14.c
thành 2 khối chóp tứ giác bằng nhau là A.EFNM
<strong>và</strong> B.PQCD, <strong>và</strong> một khối lăng trụ tam giác đứng AMN.BPQ. (hình 3.10.14.c)
• Dựa <strong>và</strong>o bản vẽ hình chiếu, ta xác định được các kích thước sau:
CD = EF = 4 m; CF = ED = 12 m;
EM = FN = DP = CQ = 2 m;
AB = 12 – 2 – 2 = 8 m.
b. Kẻ AO vuông góc với MN tại O, suy ra AO vuông góc với mặt phẳng (FEDC).
• Góc giữa (AFE) <strong>và</strong> (FEDC):
Kẻ AH ⊥ FE tại H, ta có góc giữa 2 mặt phẳng (AFE) <strong>và</strong> (FEDC) chính là góc AHO.
AO 1,
6 o
tan AHO = = = 0, 8 ⇒ AHO ≈ 38 40'
.
OH 2
• Góc giữa (ABCF) <strong>và</strong> (FEDC):
Góc giữa 2 mặt phẳng (ABCF) <strong>và</strong> (FEDC) chính là góc ANO.
AO 1,
6 o
tan ANO = = = 0, 8 ⇒ ANO ≈ 38 40'
.
ON 2
o
Vậy góc giữa các mặt bên <strong>và</strong> sàn áp mái đều là 38 40 ' .
Đối với những khối <strong>đa</strong> <strong>diện</strong> lạ, chúng ta nên phân chia khối này thành các khối <strong>đa</strong> <strong>diện</strong>
quen thuộc để tính thể tích.
Ưu tiên phân chia sao cho tạo thành các khối chóp hoặc lăng trụ có cùng mặt phẳng
đáy hoặc cùng chiều cao.
Bài 3.45. Một hồ bơi có dạng là một hình lăng trụ tứ giác đứng với đáy là hình thang
vuông (mặt bên (1) của hồ bơi là một đáy của lăng trụ) <strong>và</strong> các kích thước như đã cho
(xem hình 3.10.15).
3
a. Biết rằng người ta dùng một máy bơm với lưu lượng 42 m / phút thì mất 25 phút
là đầy hồ. Tính chiều dài của hồ.
b. Một người xuất phát từ thành hồ ở vị trí ứng với <strong>độ</strong> sâu 0,5m <strong>và</strong> bơi thẳng về phía
cuối hồ với vận tốc 2m/s, hỏi sau 30 giây thì người này <strong>đa</strong>ng ở khu vực của hồ có <strong>độ</strong>
sâu là bao nhiêu?