Kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm thực tế - Ứng dụng đạo hàm - Ứng dụng hàm số lũy thừa - Hàm mũ và logarit - Khối đa diện - Khối tròn xoay Phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyên hàm - tích phân

Bài <strong>toán</strong> 25 (<strong>Ứng</strong> <strong>dụng</strong> trong kỹ thuật vi tính). Một máy tính được lập trình để vẽ
một chuỗi các hình chữ nhật ở góc phần tư thứ nhất của hai trục <strong>tọa</strong> <strong>độ</strong> 2 chiều, nội tiếp
dưới đường cong y = e −x . Hỏi <strong>diện</strong> tích lớn nhất của hình chữ nhật lớn nhất có thể nội
tiếp được đường cong trên ?
Phân tích:
● Ta có thể mô tả <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> trên bằng cách vẽ đồ thị
<strong>hàm</strong>
y = e −x .
● Dựa <strong>và</strong>o hình vẽ, ta nhận thấy. Diện tích của hình
chữ nhật chính là
Ta có <strong>diện</strong> tích hình chữ nhật bằngS = x.e −x
S = xy = x.e −x
● Đến đây ta nghĩ đến việc sử <strong>dụng</strong> <strong>đạo</strong> <strong>hàm</strong> để tìm x
nào cho chúng ta được tương ứng y thỏa mãn <strong>diện</strong> tích
hình chữ nhật trên là lớn nhất.
Hướng dẫn <strong>giải</strong>.
x
x
Đặt f ( x) x.e −
−
= ⇒ f '( x) = ( 1 − x)
e f '( x)
Đồng thời ( ) ( )
= 0 ⇔ x = 1
−x −x −x
f '' x xe x e e , x
Do đó ta có ( ) ( )
= − − 1 − = − < 0 ∀ ∈ R
−1
max f x = f 1 = e ≈ 0,
3678 .
Bài <strong>toán</strong> 26 (<strong>Ứng</strong> <strong>dụng</strong> trong Thủy lợi). Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng
nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ <strong>độ</strong>ng học" (Ký
hiệu <strong>diện</strong> tích tiết <strong>diện</strong> ngang của mương là S,l là y
<strong>độ</strong> dài đường biên giới hạn của tiết <strong>diện</strong> này,l - đặc
x
trưng cho khả <strong>năng</strong> thấm nước của mương; mương
đựơc gọi là có dạng thuỷ <strong>độ</strong>ng học nếu với S xác
định, l là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để
có dạng thuỷ <strong>độ</strong>ng học? (nếu mương dẫn nước có tiết <strong>diện</strong> ngang là hình chữ nhật)
Hướng dẫn <strong>giải</strong>.
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương.
⎧ S
S = xy ⇒ y =
⎪
Theo <strong>bài</strong> ra ta có:
x
⎨
, 0 < y < x
⎪ 2S
l = 2y + x = + x
⎪⎩
x
Xét <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> f ( x)
Ta có: f '( x)
2S
= + x
x
2
−2S x − 2S
= + 1 = .
2 2
x x
. Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm ( )
min f x = ?
x>
0
2
S
f ' x = 0 ⇔ x − 2S = 0 ⇔ x = 2S ⇒ y = =
x
Cho ( )
Lập bảng biến ta suy ra min f ( x) = f ( 2 S )
x>
0
S
2 .
Do đó mương có dạng thuỷ <strong>độ</strong>ng học khi kích thước của mương là
Cauchy
2S
2S
Cách khác: l = 2y + x = + x ≥ 2 .x = 2 2 S .
x
x
2S
Dấu “=” xảy ra x x S
x = ⇒ = 2 .
⎧ x =
⎪
⎨
⎪ y =
⎩
Bài <strong>toán</strong> 27 (<strong>Ứng</strong> <strong>dụng</strong> trong Xây Dựng). Hãy
xác định <strong>độ</strong> dài ngắn nhất cánh tay nâng của cần
cẩu bánh hơi có thể dùng được để xây dựng tòa
nhà cao tầng mái bằng có chiều cao H <strong>và</strong> chiều
rộng 2 l ? (Biết rằng cần cẩu thỏa mãn yêu cầu
sau đây: Có thể xê xích chiếc cẩu cũng như góc
nghiêng của cánh tay nâng để sao cho điểm cuối
của cánh tay nâng chiếu xuống theo phương
thẳng đứng thì trùng với trung điểm của bề rộng
(Hình vẽ). Ta giả sử ngôi nhà xây dựng trên miếng đất rộng, cần cẩu có thể di chuyển
thoải mái.
Hướng dẫn <strong>giải</strong>.
Gọi h là khoảng cách tính từ mặt đất đến đầu dưới của cánh tay cần cẩu ( 0 < h < H)
Gọi α , A,B,C,E là các kí hiệu như hình vẽ.
H − h l
Khi đó cánh tay cần cầu là AC = AB + BC = + với 0 < α < 90
sinα
cosα
H − h l
sinα
cosα
Đặt f ( α ) = + . Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm ( α )
Ta có: ( α ) ( )
min f = ?
⎛ π ⎞
α∈⎜
0 ; ⎟
⎝ 2 ⎠
( − )
3 3
− cosα
sinα
l sin α − H h cos α
f ' = H − h + l =
2 2 2 2
sin α cos α sin α.cos
α
3 H − h H − h
Cho f '( α ) = 0 ⇔ tan α = > 0 ⇔ tanα
= 3 = k > 0
l
l
Lập bảng biến thiên ta có
α 0 arctan k
π 2
( α)
f ' − 0 +
f ( α )
5
0
2S
S
2