Kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm thực tế - Ứng dụng đạo hàm - Ứng dụng hàm số lũy thừa - Hàm mũ và logarit - Khối đa diện - Khối tròn xoay Phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyên hàm - tích phân

Bài tập tương tự 1: Một công ty xác định rằng tổng thu nhập (tính bằng USD) từ việc
150000
sản xuất <strong>và</strong> bán x đơn vị sản phẩm được cho bởi công thức: P ( x)
=
2
x − 60x
+ 1000 .
Hãy tìm <strong>số</strong> x đơn vị sản phẩm cần sản xuất <strong>và</strong> bán để tổng thu nhập lớn nhất ?
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
Ta có ( ) ( )
P' ( x)
−150000 ( 2x
− 60)
2
( )
150000
P x = ⇒ P' x = , ∀x
∈ R
2 2
x − 60x + 1000 x − 60x
+ 1000
= 0 ⇔ x = 30 . Lập bảng biến thiên ta có:
X −∞ 30 +∞
( x)
P ' + 0 −
P ( x )
Từ bảng biến thiên, ta có max P ( x)
1500
= 1500 ⇔ x = 30 .
Vậy, để tổng thu nhập lớn nhất thì cần sản xuất <strong>và</strong> bán 30 đơn vị sản phẩm.
Cách khác: Ta có P ( x)
= 150000
x x = 150000
− + ≤ 150000
= 1500
2 2
60 1000 x − 30 + 100 100
2
Do ( )
( )
x − 60x + 1000 = x − 30 + 100 ≥ 100, ∀x
∈ R .
Vậy dấu “=” xảy ra khi <strong>và</strong> chỉ khi x = 30 .
2
Bài tập tương tự 2: Một công ty <strong>đa</strong>ng lập kế hoạch cải tiến sản phẩm <strong>và</strong> xác định rằng
2
tổng chi phí dành cho việc cải tiến là C ( x) = 2x + 4 + ( x > 6)
với x là <strong>số</strong> sản phẩm
x − 6
được cải tiến. Tìm <strong>số</strong> sản phẩm mà công ty cần cải tiến để tổng chi phí thấp nhất ?
Hướng dẫn <strong>giải</strong>
Ta có C ( x) = x + + 2
C' ( x)
C' ( x) ( x )
x
⇒ = − 2
−
⇒ = ⇔ − 2
2 4 2 0 6 = 1
2
6 x − 6
( )
⎡x
− 6 = 1 ⎡x
= 7
⇔ ⎢ ⇔ ⎢ . Do x > 6 nên loại x = 5 .Ta có bảng biến thiên sau:
⎣x
− 6 = − 1 ⎣x
= 5
x −∞ 6 7 +∞
C' ( x)
− 0 +
C ( x )
Dựa <strong>và</strong>o bảng biến thiên, ta có minC = 20 ⇔ x = 7
Lưu ý: để xét dấu các khoảng của C' ( x ) , ngoài việc sử <strong>dụng</strong> dấu của tam thức bậc hai
thông thường ta có thể “trong vùng của <strong>số</strong>, chọn <strong>số</strong> thế <strong>và</strong>o, nếu ra <strong>số</strong> dương thì ghi +
<strong>và</strong> ngược lại”.
20
Bài <strong>toán</strong> 19. Doanh nghiệp tư nhân Tân Hưng Yên chuyên kinh doanh xe gắn máy <strong>và</strong>
tay ga các loại. Hiện nay, doanh nghiệp <strong>đa</strong>ng tập trung chiến lược <strong>và</strong>o kinh doanh xe
tay ga Lead với chi phí mua <strong>và</strong>o một chiếc là 27 (triệu đồng) <strong>và</strong> bán với giá 40 (triệu
đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì <strong>số</strong> lượng xe mà khách hàng sẽ mua là 2000 chiếc.
Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe <strong>đa</strong>ng ăn khách này, doanh
nghiệp dự định giảm giá bán <strong>và</strong> ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì <strong>số</strong>
lượng xe bán ra sẽ tăng thêm 800 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là
bao nhiêu để sau khi đã <strong>thực</strong> hiện việc giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất ?
Phân tích:
● Ta có thể thử mô tả <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> bằng bảng sau:
Ban đầu
Giá mua <strong>và</strong>o
1 chiếc xe
27 (triệu
đồng)
Giá bán ra
1 chiếc xe
40 (triệu
đồng)
Lợi nhuận
Khi bán 1
chiếc xe
13 triệu
đồng
Số lượng
Tổng lợi
nhuận
2000 chiếc 26 tỷ
Như vậy việc giảm giá bán trên 1 chiếc xe sẽ làm giảm lợi nhuận thu được khi bán 1
chiếc nhưng đồng thời cũng làm tăng lên nhu cầu mua xe của khách hàng. Theo giả
thiết nếu giảm giá 1 (triệu đồng) thì <strong>số</strong> lượng xe bán ra sẽ tăng thêm 800 chiếc.
● Từ đây nếu ta gọi x là giá bán mới của mỗi chiếc Lead . Ta thấy rằng giá bán chỉ
có thể dao <strong>độ</strong>ng trong khoảng 27 triệu đồng đến 40 triệu đồng.
● Ta xác định lại <strong>số</strong> lượng xe bán ra sau khi giảm giá ứng với giá bán mới là x.
Khi đó lợi nhuận của doanh nghiệp sẽ bằng tổng doanh thu – Tổng chi phí <strong>và</strong> là một
<strong>hàm</strong> phụ thuộc theo biến x. <strong>Ứng</strong> <strong>dụng</strong> <strong>đạo</strong> <strong>hàm</strong> ta sẽ tìm được giá trị x thỏa yêu cầu <strong>bài</strong>
<strong>toán</strong>.
Hướng dẫn <strong>giải</strong>.
Gọi x là giá bán mới của mỗi chiếc Lead mà doanh nghiệp phải xác định để lợi nhuận
27 < x < 40
thu được sau khi giảm giá là cao nhất. ( )
Suy ra <strong>số</strong> tiền đã giảm là
40 − x . Đồng thời <strong>số</strong> lượng xe tăng lên 800 ( 40 − x)
Vậy tổng <strong>số</strong> sản phẩm bán được là ( x)
Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được sẽ là ( 34000 − 800 )
Chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra là ( 34000 − 800x ).
27
2000 + 800 40 − = 34000 − 800 x
Lợi nhuận mà công ty đạt được = Tổng doanh thu – chi phí
⇒ ( 34000 − 800x) x − ( 34000 − 800x ). 27 = − 800x 2 + 55600x
− 918000
2
Đặt f ( x)
= − 800x + 55600x
− 918000 . Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm ( )
Ta có ( ) ( )
x x
max f x = ?
27< x<
40
139
f ' x = − 1600x + 55600, f ' x = 0 ⇔ x = ≈ 34,
75 triệu đồng.
4
Lập bảng biến thiên, ta có max f ( x)
triệu đồng.
27< x<
40
⎛ 139 ⎞
= f ⎜ ⎟ = 48050 (triệu đồng) hay 48 tỷ <strong>và</strong> 50
⎝ 4 ⎠