Kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm thực tế - Ứng dụng đạo hàm - Ứng dụng hàm số lũy thừa - Hàm mũ và logarit - Khối đa diện - Khối tròn xoay Phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyên hàm - tích phân

a
f ' y = a − 4y ⇒ f ' y = 0 ⇔ y =
Ta có ( ) ( )
2
a a a
Do đó: maxS = max f ( y)
= ⇔ y = ⇒ x =
8 4 2 .
Cách khác: áp <strong>dụng</strong> bất đẳng thức Cauchy ta có
⎛ ⎞
= − < ∀ ∈ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
4 <strong>và</strong> ( ) a
f '' y 4 0, y 0;
2
( 2 + − 2 )
y a y
2
1 1
a
S = xy = y( a − 2y) = 2y ( a − 2y)
≤ =
2 2 4 8 .
a a
Dấu “=” xảy ra khi <strong>và</strong> chỉ khi 2y = a − 2y ⇔ y = ⇒ x =
4 2 .
Câu 26.
Đáp án A
Hướng dẫn <strong>giải</strong>:
2
Trước tiên ta tính <strong>độ</strong> cao nhất của vật
trên quỹ <strong>đạo</strong> <strong>và</strong> xác định thời điểm mà
nó đạt được <strong>độ</strong> cao đó (g = 10m/s 2 )
Véc tơ
vo
được phân tích thành tổng
α P
của hai véc tơ theo hai phương vuông
x
góc với nhau (phương ngang <strong>và</strong> phương
thẳng đứng) như hình vẽ. Vật cao nhất khi MN = −MP
,
⎧
⎪ MP = gt ( 1)
0
trong đó ⎨
α ∈ ( 0;90 )
2 2 2 2 2 2
⎪⎩ MN = vo − MK = vo − vo
cos α ( 2)
2 2 2 vo
sin α
⇒ gt = v 1− cos α ⇒ t =
g
Từ (1) <strong>và</strong> (2) ( ) o ( )
vo
sin α
v
Do đó h lớn nhất khi <strong>và</strong> chỉ khi t = <strong>và</strong> khi đó h = vo
sin α .t =
g
2 2
o sin
Vì quỹ <strong>đạo</strong> của vật ném xiên là Parabol nên tầm ném của vật được
o
o
Ta tính x = MK.2t = v cos α .2 = = f ( α )
o
v sin α v .sin 2α
g g
Ta có thể ứng <strong>dụng</strong> <strong>đạo</strong> <strong>hàm</strong> tìm max f ( ) f ( 45 )
2 2
2
2
0 vo
o
o
của <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> lượng giác x ( do sin 2 1)
α = = hoặc sử <strong>dụng</strong> tính bị chặn
9
v .sin 2α
v
= ≤ α ≤ .
g g
0
Dấu “=” xảy ra khi <strong>và</strong> chỉ khi sin 2α = 1 ⇔ α = 45 .
Câu 27.
→
v
0
Đáp án B
N
M •
K
Hướng dẫn <strong>giải</strong>:
g
α
Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. 0 < x < a
Ta có chu vi của hình bán nguyệt là π x ,
Tổng ba cạnh của hình chữ nhật là a − π x.
Khi đó 1 cạnh của hình chữ nhật có <strong>độ</strong> dài là x
x a x x
Diện tích của cửa <strong>số</strong> là: S S S π 2
− π − 2
= + = + 2x.
1 2
2 2
Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm giá trị lớn nhất của <strong>hàm</strong> <strong>số</strong> ( )
⎛ π ⎞
⇒ S( x)
= ax − ⎜ + 2⎟
x
⎝ 2 ⎠
Đồng thời S'' ( x ) = − ( π + ) < , ∀x ∈ ( ; a)
Khi đó kích thước của nó là chiều cao bằng
2
( )
2 <strong>và</strong> cạnh còn lại là π
S x với 0 < x < a
⇒ a
S' ( x) = a − ( π + 4) x ⇒ S' ( x)
= 0 ⇔ x = .
4 + π
⎛ a ⎞
4 0 0 . Do đó maxS = S ⎜ ⎟
⎝ 4 + π ⎠
a
, <strong>và</strong> chiều rộng bằng
4 + π
Câu 28. Đáp án B
Hướng dẫn <strong>giải</strong>:
x = HM 0 < x < 25,
86 . Khi đó thời gian của lộ trình đi được là
Gọi ( )
S
2 2
S= vt⇒ t= Ta có
v
AM MB 16, 26 + x 25, 68 − x
t = t + t ←⎯⎯⎯→ + = +
AM MB
v v 8 12
Xét f ( x) = + ( 0 < x < 25,
68)
Bài <strong>toán</strong> trở thành tìm
AM
2 2
16, 26 + x 25, 68 − x
8 12
min f x = ?
( )
( 0 25 68) x ∈ ; ,
f ' x
2 2
3x − 2 16, 26 + x
= , f ' x = 0 ⇔ x
2. 16,
26
= ≈ 14,
5434
2 2
24 16, 26 + x
5
Ta có ( ) ( ) o
Lập bảng biến thiên, ta suy ra
MB
min f x = f x = 3, 669 s
( ) ( o )
( 0 25 68) x ∈ ; ,
Suy ra MB = 25,68 −14,5434 ≈ 11,14 km .
Câu 29.
Đáp án C
26t
+ 10 120
Hướng dẫn <strong>giải</strong>.
120 6
ycbt ⇔ = 0,
048 =
t + 5
2 125
( ) = ⇒ f '( t)
=
t + 5 ( t + 5 )
. Khi đó 2
( )
f t
a − x − 2x
.
2
2a
.
4 + π
⇒ 2500 = ( t + 5)
2
⇔ t + 5 = 50 ⇔ t = 45 . Như vậy đến năm 1970 + 45 = 2015 thì đạt tốc
<strong>độ</strong> tăng dân <strong>số</strong> 0,048 người/năm .