Derivada de una función - TEC-Digital

Continuidad y derivabilidad 17
Note que en x = 1 la gráfica de f tiene un “pico”, siendo precisamente en x = 1 donde no es derivable
la función.
2. Sea f la función con ecuación: f(x) =
x 2 si x > 0
√ −x si x ≤ 0
Determinemos si f ′ (0) existe y si f es continua en x = 0.
Calculemos las derivadas laterales:
a. f ′ +(0) = lim
x→0 +
f(x) − f(0)
x − 0
b. f ′ −(0) = lim
x→0− f(x) − f(0)
x − 0
lim
x→0 −
−1
√ −x = −∞
= lim
x→0 +
x2 − 0
x − 0
= lim
x→0 −
√ −x − 0
x
= lim x = 0.
x→0 +
= lim
x→0 −
Luego f ′ +(0) = f ′ −(0) por lo que f no es derivable en x = 0.
Probemos ahora si f es continua en x = 0:
a. f(0) existe pues f(0) = 0; f(0) = √ −0 = √ 0 = 0.
b. lim f(x) = lim
x→0 + x→0 + x2 = 0 y lim f(x) = lim
x→0− x→0 −
Entonces f es continua pero no es derivable en x = 0.
La representación gráfica de la función es la siguiente:
10
8
6
4
2
√
−x
x .
√
−x
√ = lim
−x x→0− −x
x √ −x =
√ −x = 0.
-4 -2 2 4
Figura 2.9: Función continua pero no derivable en x = 0
Note que la gráfica tiene una tangente vertical en (0, 0).
El hecho de que f no sea derivable en cero, está relacionado con el hecho de que una recta vertical no
tiene pendiente.