Derivada de una función - TEC-Digital

Ejercicios.
Funciones implícitas y su derivada 65
La pendiente de la recta normal es mN = −1 y la respectiva ecuación es: y = −x + b. Sustituyendo
(x, y) por (a, 2a) se obtiene que b = 3a por lo que la ecuación de la recta normal es y = −x + 3a.
La representación gráfica de la curva, las recta tangente y de la recta normal es la siguiente:
Figura 2.29: Gráfica de y 2 = 4ax
1. Probar que las rectas tangentes en el origen a las curvas con ecuaciones 4y 3 − x 2 y − x + 5y = 0,
x 4 − 4y 3 + 5x + y = 0, son perpendiculares entre sí.
2. En cada caso:
a. Determinar Dxy en términos de “x” y “y” utilizando la derivación implícita.
b. Despejar “y” en términos de “x” y demostrar que cada solución y su derivada satisfacen la ecuación
obtenida en a.
i x 2 − 2xy = 5
ii x 2
3 + y 2
3 = a 2
3 , a constante.
iii 2x 2 − 3xy − 4y 2 = 5
3. Determinar la ecuación de la recta normal a la curva con ecuación x − y = √ x + y en el punto (3, 1).
Derivada de segundo orden para una función dada en forma implícita
Especificaremos en los ejemplos siguientes el procedimiento que se sigue para determinar D 2 xy.
Ejemplo 2