Derivada de una función - TEC-Digital

√ 1
2. Dx log2 x = √x log2 e ·
3. Dx log 5
= 1
x+1
x 2 +3
= 3 − 2x − x2
x + 1
x2
+ 3
log 5 e ·
(x + 1)(x 2 + 3)
1
2 √ x = log2 e
, x > 0
2x
x 2 + 3
1 − (x + 1)(2x) · (x2 + 3) 2
log 5 e, x > −1
En particular si la base de los logaritmos es e entonces el log e x se denota por ln x, y:
1. Dx ln x = 1
x loge e = 1 1
· 1 =
x x , es decir Dx ln x = 1
x
2. Si g(x) es una función derivable con g(x) = 0 entonces:
Dx ln |g(x)| = 1
g(x) Dx(g(x))
Ejemplo 3
1. Dx ln 5x = 1
5x Dx(5x) = 1 1
· 5 =
5x x
2. Dx ln( √ x + 1 + x) =
=
1
√ x + 1 + x Dx( √ x + 1 + x)
1
1
√ ·
x + 1 + x 2 √
+ 1 , x > −1.
x + 1
3. Dx ln 2 x = Dx[ln x] 2 = 2[ln x] · Dx ln x = 2 ln x · 1 2 ln x
=
x x
4. Dx ln 4 (x 2 + 5) = Dx[ln(x 2 + 5)] 4
= 4[ln(x 2 + 5)] 3 ·
= 8x · ln3 (x 2 + 5)
x 2 + 5
5. Dx[ln(3x + 1) − 4x] =
2
6. Dx
ln(x + 1)
−1
= Dx 2[ln(x + 1)]
= −2[ln(x + 1)] −2 ·
1
x 2 + 5 (2x)
x ∈ R.
3
3x + 1
1
x + 1
−12x − 1 −1
− 4 = , x >
3x + 1 3 .
Derivada de la función logarítmica 37