Derivada de una función - TEC-Digital

Luego para x = 2, △x = 0.03 se tiene que dy = (2 · 2 − 3)(0.03) = 0.03
Por último △y − dy = 0.0309 − 0.03 = 0.009.
2. Utilizando diferenciales, calcular aproximadamente el valor de 3√ 122.
Solución:
Tomemos f(x) = y = 3√ x, x = 125, dx = △x = −3.
Nos interesa determinar una aproximación a y + △y para x = 125 y dx = −3.
Para ello calculamos el diferencial de “y”:
dy = f ′ (x)dx = 1
3 3√ dx; sustituyendo “x” por 125 y dx por −3 se obtiene que:
x2 −3
dy =
3 3 −1
=
(125) 2 3 (125) 2
= −1
3√ 5 6
Luego dy = −0.04, y = 5 = 3√ 125
−1 −1
= = = −0.04
52 25
Así aproximamos y + △y para x = 125, dx = △x = −3 con y + dy = 5 − 0.04 = 4.96
Luego 3√ 122 = 4.96
Diferenciales 31
3. El lado de un cuadrado es igual a 5 cm. Hallar el incremento aproximado de su área si el lado aumenta
0.01 cm.
Solución:
Sea A(x) = y = x 2 donde x es el lado del cuadrado, A denota su área.
Se desea determinar cuánto aumenta el área cuando la longitud del lado pasa de 5 cm a 5.01 cm.
Calculemos la diferencial de área:
Así:
dA = f ′ (x)dx = 2xdx, donde x = 5 y dx = 0.01
Luego:
dA = 10(0.01) = 0.1 y aproximamos A + △A para x = 5, dx = 0.01 con A + dA = 25 + 0.10 de donde
A + dA = 25.10, área del nuevo cuadrado.
El incremento del área es de 0.1 cm 2 .
4. Al calentar una esfera de radio R = 9 cm, su volumen aumentó 32.4π cm 3 . Hallar el alargamiento del
radio de la esfera.
Solución: