Derivada de una función - TEC-Digital

70 Capítulo 2: Derivadas
Figura 2.33: Gráfica de x 2 − 3x + 2
2. De nuevo, f es una función polinomial y por tanto es derivable, y continua para toda x ∈ R. En particular,
en el intervalo [−1, 2] se cumplen las dos primeras condiciones.
Además f(−1) = 0 y f(2) = 0 verificándose la tercera condición.
Luego, el teorema es válido en el intervalo [−1, 2] y existe c ∈] − 1, 2[ tal que f ′ (c) = 0. Como
f ′ (x) = 3x2 − 4x − 1 entonces f ′ (x) = 0 si y solo si x = 2 + √ 7
o x =
3
2 − √ 7
. Note que ambos
3
valores pertenecen al intervalo ] − 1, 2[.
2 +
Luego, en los puntos
√ 7
,
3
−8 − 27√
7
27
y
2 − √ 7
,
3
−116 − 26√
7
, la recta tangente tiene pen-
27
diente cero y por tanto dicha recta es paralela al eje X.
2.1.17 Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange)
Teorema 1
Sea f una función que cumple las propiedades siguientes:
1. Es continua sobre un intervalo cerrado [a, b].
2. Es derivable sobre un intervalo abierto ]a, b[.
Entonces existe por lo menos un número c tal que a < c < b y f ′ (c) =
Prueba: Al final del capítulo
f(b) − f(a)
b − a
Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del cálculo diferencial como del cálculo integral.
En su demostración se utilizará el teorema de Rolle.
Interpretación geométrica