Derivada de una función - TEC-Digital

46 Capítulo 2: Derivadas
Derivada de la función seno inverso
Como y = arcsen x ⇐⇒ x = sen y, para y ∈
una función inversa se tiene que:
1
Dx(arcsen x) =
Dy sen y
= 1
cos y
Como cos 2 y + sen 2 y = 1, y cos y ≥ 0 para y ∈
x = sen y.
Luego: Dx(arcsen x) =
1
√ 1 − x 2
En general Dx(arcsen f(x)) =
Ejemplo 2
1. Dx(arcsen 5x 2 ) =
2. Dx(arcsen √ x) =
3. Dx(arcsen x) 3 = 3(arcsen x) 2 ·
Ejercicios.
Determine Dxh(x) si:
2x
a. h(x) = arcsen
x + 1
b. h(x) = arcsen(2x 2 + 3)
Función coseno inverso
para x ∈] − 1, 1[
−π π
, , x ∈ [−1, 1], aplicando el teorema de la derivada de
2 2
−π π
,
2 2
f ′ (x)
, f(x) ∈] − 1, 1[.
1 − [f(x)] 2
1
1 − (5x2 ) 2 · Dx(5x 2 10x
1
) = √ , |x| < √
1 − 25x4 5
1
√
1 − ( x) 2 · Dx( √ 1
x) =
2 √ x √ , x ∈]0, 1[
1 − x
1
1 − x2 = 3 arcsen2 x
√ , x ∈] − 1, 1[
1 − x2 entonces cos y = 1 − sen 2 y = √ 1 − x 2 pues
Como en la función seno, la función coseno es continua y estrictamente creciente en varios intervalos por ejemplo:
[−2π, −π], [0, π], [2π, 3π], etc, por lo cual debe restringirse su dominio de tal forma que posea función inversa.
Sea entonces la función F tal que:
F = {(x, y) tal que y = cos x, con x ∈ [0, π], y ∈ [−1, 1]}
La función F así definida es continua y estrictamente decreciente en el intervalo [0, π], por lo que posee función
inversa. Esta recibe el nombre de arco coseno, (o función coseno inverso), y se denota arccos.
Se define de la siguiente forma:
f : [−1, 1] → [0, π], f(x) = arccos x