Derivada de una función - TEC-Digital

1. = lim [2x ln x]
x→0 +
Como x → 0 + entonces 2x → 0 + y ln x → −∞
Pero 2x ln x puede escribirse como ln(x)
1
de L’Hôpital como sigue:
= lim [2x ln x] = lim
x→0 + x→0 +
ln(x)
1
2x
= lim
x→0 +
1
x
−1
2x 2
= lim −2x = 0
x→0 +
2. lim sen x ln x
x→0 +
2x
que presenta la forma −∞
+∞
Regla de L’Hôpital 81
lo que nos permite aplicar la Regla
Note que si x → 0 + entonces sen x → 0 + y ln x → −∞ pero sen x ln x puede escribirse como:
ln x
1
sen x
= ln x
Luego:
csc x
que presenta la forma −∞
+∞ cuando x → 0+ .
lim sen x ln x = lim
x→0 + x→0 +
ln x
csc x
= lim
x→0 +
1
x
− csc x cot x
= lim
x→0 +
− sen2 x
x cos x
= lim
x→0 +
−1
· lim
cos x x→0 +
sen2 x
x
= −1
1
forma 0
0
· lim
x→0 +
2 sen x cos x
= −1 · 0 = 0
1
Por tanto: lim
x→0 +
sen x ln x = 0
π x
3. lim (1 − x) tan
x→1− 2
Este límite vuelve a presentar la forma forma 0 · ∞, sin embargo, la expresión (1 − x) tan
también escribirse como:
(1 − x) sen
π x
2
cos
π x que presenta la forma
2
0
0 , cuando x → 1− .
Luego, calculamos el límite como sigue:
π x
lim (1 − x) tan
x→1− 2
π x
2
puede