Derivada de una función - TEC-Digital

86 Capítulo 2: Derivadas
2
1. lim
x→1 x2
1
−
− 1 x − 1
Consideramos dos casos:
a. Si x → 1 + entonces x > 1 y x 2 > 1 por lo que x − 1 → 0 + y x 2 − 1 → 0 + de donde
2
x2 1
→ +∞ y → +∞
− 1 x − 1
2
Luego
x2
1
− → (+∞) − (+∞) cuando x → 1
− 1 x − 1
+
b. Si x → 1 − entonces x < 1 y x 2 < 1 por lo que x − 1 → 0 + y x 2 − 1 → 0 − de donde
2
x2 1
→ −∞ y → +∞
− 1 x − 1
2
Luego
x2
1
− → (+∞) − (+∞) cuando x → 1
− 1 x − 1
−
Note que en ambos casos se tiene (+∞) − (+∞)
Resolvemos el límite de la siguiente manera:
2
lim
x→1 x2
1
−
− 1 x − 1
2 − (x + 1)
= lim
x→1 (x − 1)(x + 1)
1 − x
= lim
x→1 x2 − 1
−1 −1
= lim =
x→1 2x 2
forma 0
0
2. lim (sec x − tan x)
π x→ 2
= lim
x→1
Consideramos los siguientes casos:
a. Si x → π+
2
2
1
−
(x − 1)(x + 1) x − 1
entonces cos x → 0− por lo que sec x = 1
sen x
→ −∞ y tan x = → −∞
cos x cos x
Luego (sec x − tan x) → (−∞) − (−∞) cuando x → π+
2
b. Si x → π−
2
entonces cos x → 0 + por lo que sec x → +∞ y tan x → +∞
Luego (sec x − tan x) → (+∞) − (+∞) cuando x → π−
2
Note que en ambos casos se tiene (+∞) − (+∞)
Procedemos como sigue para determinar el valor del límite: