Derivada de una función - TEC-Digital

76 Capítulo 2: Derivadas
Calculemos los límites siguientes:
tan x − x
1. lim
x→0 x − sen x
Note que tan 0 − 0 = 0, 0 − sen 0 = 0; se presenta la forma 0
0
Luego:
tan x − x sec
lim = lim
x→0 x − sen x x→0
2 x − 1
1 − cos x
aquí se presenta de nuevo la forma 0
0
Entonces:
tan x − x
lim
x→0 x − sen x
sec
= lim
x→0
2 x − 1
1 − cos x
2sec x tan x sec x
= lim
x→0 sen x
2sec
= lim
x→0
2x sen x
sen x · cos x
2sec
= lim
x→0
2 x 2 · 1
= = 2.
cos x 1
e
2. lim
y→0
y − 1 − y
y2 e
= lim
y→0
y − 1
2y
e
= lim
y→0
y
2
= e0
2
θ − sen θ
3. = lim
θ→0 tan3 θ
= lim
θ→0
= lim
θ→0
forma: e0 − 1 − 0
0
forma: e0 − 1
2 · 0
= 1
2
forma:
1 − cos θ
3 tan 2 θ sen 2 θ
1 − cos θ
3 · sen2 θ
cos 2 θ · 1
cos 2 θ
cos
= lim
θ→0
4 θ(1 − cos θ)
3(1 − cos2 θ)
= lim
θ→0
cos 4 θ
3(1 + cos θ) =
= 0
0
0 − sen 0
tan 3 0
1 1
=
3(1 + 1) 6 .
= 0
0
= 0
0
y puede aplicarse el teorema.
por lo que es posible aplicar otra vez el teorema.