Derivada de una función - TEC-Digital

Diferenciales 27
Puede decirse que h es la diferencia entre las abscisas de dos puntos de la gráfica de f. Esta diferencia recibe
el nombre de incremento de x y se denota por △x.
Para una función f , dada al sustituir h por △x en la expresión
de donde f ′ (x) = lim
△x→0
f(x + △x) − f(x)
.
△x
f(x + h) − f(x)
h
, se obtiene
f(x + △x) − f(x)
△x
Si y = f(x) entonces el incremento en “y” correspondiente al incremento △x de x, que se denota por △y, está
dado por f(x + △x) − f(x).
Así , △y es el cambio en “y” debido al cambio △x en x.
La razón △y f(x + △x) − f(x)
= recibe el nombre de razón promedio de cambio de f o de “y”, respecto a x,
△x △x
para el intervalo [x, x + △x].
△y
La derivada: Dxy = lim
△x→0 △x
f(x + △x) − f(x)
= lim
△x→0 △x
simplemente razón de cambio de “y” o de f respecto a x.
Ejemplo 1
1. Si y = 2x 2 + 1 hallar △y en términos de x y △x.
i. Determinar △y para:
a. x = 1, △x = 0.1
b. x = 10, △x = 0.01
Solución:
△y = f(x + △x − f(x))
= 2(x + △x) 2 + 1 − (2x 2 + 1)
= 2(x 2 + 2x △ x + (△x) 2 ) + 1 − 2x 2 − 1
= 2x 2 + 4x △ x + 2(△x) 2 − 2x 2
= (4x + 2 △ x) △ x
a. Para x = 1, △x = 0.1 se tiene que:
△y = (4 · 1 + 2 · 0.1)0.1 = 0.42
recibe el nombre de razón instantánea de cambio o
Puede decirse que existe un incremento de 0.42 en las ordenadas debido a un incremento de 0.1
en las abscisas.
b. Para x = 10 y x = 0.01 se tiene que:
△y = (4 · 10 + 2 · 0.01)0.01 = 4.002