Derivada de una función - TEC-Digital

68 Capítulo 2: Derivadas
Si una curva continua interseca al eje X en (a, 0) y (b, 0) y tiene una recta tangente en cada uno de los puntos del
intervalo ]a, b[, entonces existe por lo menos un punto de la curva en el que la recta tangente es paralela al eje X.
Gráficamente se tiene:
Figura 2.31: Interpretación geométrica del Teorema de Rolle
El teorema también es válido para una función derivable que aunque en los extremos del intervalo [a, b] no
interseque al eje X, sí tome valores iguales para a y b, es decir, f(a) = f(b).
a b
Es necesario que la función posea derivada en todos los puntos del intervalo, ya que aunque la función sea
continua en el intervalo, si no es derivable en algún punto, puede suceder que no exista ningún valor c para el
que f ′ (c) sea igual a cero.
Ejemplo 1
La función f con ecuación f(x) = 2 + 3√ x2 es continua en el intervalo [−1, 1] y además se cumple que
f(−1) = f(1), pero la derivada de f, f ′ (x) = 2
3 3√ no está definida para x = 0, (0 ∈] − 1, 1[), y se tiene que
x
f ′ (x) no se hace cero en el intervalo dado.
La representación gráfica de esta función en el intervalo [−1, 1] es la siguiente:
Ejemplo 2