Derivada de una función - TEC-Digital

74 Capítulo 2: Derivadas
1. Las funciones f y g son continuas y derivables en el intervalo ]0, 2[ por ser funciones polinomiales.
Además: g(2) = 4 y g(0) = 0 por lo que g(2) = g(0); g ′ (x) = 2x, y 2x es diferente de cero para
x ∈]0, 2[. Como se cumplen todas las condiciones existe c en ]0, 2[ tal que:
f(2) − f(0)
g(2) − g(0) = f ′ (c)
g ′ (c)
Como f(2) = 8, f(0) = 0, f ′ (x) = 3x 2 , y g ′ (x) = 2x entonces sustituyendo en la expresión anterior:
8 − 0 3c2
=
4 − 0 2c
3
4
de donde 2 = c y se obtiene que c =
2 3 .
2. Las funciones f y g son continuas y derivables en el intervalo ]0, 2[ pues ambas son el cociente de dos
polinomios P (x) y Q(x) donde Q(x) = x 2 + 1 es diferente de cero para x en ]0, 2[.
Además: g(2) = −3
y g(0) = 1 por lo que g(2) = g(0); g
5
′ (x) = −4x
(1 + x2 , es diferente de cero para
) 2
x ∈]0, 2[. Como se cumplen todas las condiciones del teorema de Gauchy del valor medio, existe c en ]0, 2[
tal que:
f(2) − f(0)
g(2) − g(0) = f ′ (c)
g ′ (c)
Como f(2) = 4
5 , f(0) = 0, f ′ (x) =
2 − 2x
(1 + x 2 ) 2 , y g′ (x) = −4x
(1 + x 2 2 entonces sustituyendo en la igual-
)
dad anterior se tiene: −4 2 − 2c2
= y 10c
3 −4c
2
3
= 6 por lo que |c| =
5 .
3
3
Como c = − no pertenece al intervalo ]0, 2[, el valor que satisface la conclusión del teorema es c =
5 5 ,
que sí pertenece al intervalo dado.
El teorema de Gauchy del valor será utilizado en la demostración de algunos teoremas que se refieren a la
regla de L’Hôpital y que serán estudiados en el próximo apartado.
2.1.19 Regla de L’Hôpital
Introducción
La regla de L’Hôpital es un método que se le atribuye al matemático francés Guillaume Francois de L’Hôpital
(1661-1707). Este escribió el primer libro de cálculo conteniendo su método, junto con J. Bernoulli. Fue publicado
en 1696.
Este método nos permite calcular ciertos límites que con los procedimientos estudiados anteriormente no era
f(x)
posible resolver. Así, al evaluar límites de la forma lim en algunos casos se podía aplicar el teorema para
x→a g(x)
el límite de un cociente:
f(x)
lim
x→a g(x) = limx→a f(x)
limx→a g(x)
siempre que lim g(x) = 0
x→a