Derivada de una función - TEC-Digital

Figura 2.32: Gráfica de f(x) = 2 + 3√ x 2
Teorema de Rolle 69
Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones se dan a continuación, verificar que se cumplen las condiciones
del teorema de Rolle en el intervalo indicado, y determinar un valor adecuado c que satisfaga la conclusión de
este teorema:
1. f(x) = x 2 − 3x + 2; [1, 2]
2. f(x) = x 3 − 2x 2 − x + 2; [−1, 2]
3. f(x) = x 3 + 5x 2 − 6x; [0, 1] Ejercicio para el estudiante
4. f(x) = cos 2 x;
Solución:
−π π
,
4 4
Ejercicio para el estudiante
1. Por ser f una función polinomial es derivable y por lo tanto continua para todo x ∈ R. se cumplen
entonces las dos primeras condiciones en el intervalo [1, 2].
Además f(1) = 0 y f(2) = 0 por lo que la curva interseca al eje X y se cumple la tercera condición.
Luego, debe existir por lo menos un número c ∈]1, 2[ tal que f ′ (x) = 0.
Como f ′ (x) = 2x − 3 y f ′ (x) = 0 si y solo si x = 3
Luego en el punto
3
, f
2
3
2
2
la recta tangente es paralela al eje X.
3 3
entonces puede tomarse c = , ∈]1, 2[.
2 2