Derivada de una función - TEC-Digital

−π+
lim arctan x =
x→−∞ 2
pues lim
x→ −π+
2
tan x = −∞
Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas 49
La representación gráfica de la función tangente y la de la función arcotangente es la siguiente:
Derivada de la función arcotangente
Como y = arctan x ⇐⇒ x = tan y para y ∈
función inversa se tiene que:
1
Dx(arctan x) =
Dy tan y
Figura 2.17: Gráfica de la función tangente y arcotangente
= 1
sec 2 y
Como tan 2 y + 1 = sec 2 y, y x = tan y entonces sec 2 y = 1 + x 2 por lo que:
Dx(arctan x) =
1
, x ∈ R
1 + x2 1
En general Dx(arctan f(x)) =
· Dxf(x)
1 + [f(x)] 2
Ejemplo 6
1. Dx(arctan(5x 3 )) =
2. Dx(arctan( √ x)) =
3. Dx(arctan(ln x)) =
Ejercicios.
Determine Dxh(x) si:
1
1 + (5x3 ) 2 · Dx(5x 3 ) = 15x2
, x ∈ R
1 + 25x6 1
1 + ( √ ·
x) 2
1
2 √ x =
1
1 + (ln x) 2 · Dx(ln x) =
−π π
, , x ∈ R, aplicando el teorema de la derivada de la
2 2
1
2 √ , x > 0
x(1 + x)
1
x(1 + ln 2 , x > 0
x)