Derivada de una función - TEC-Digital

Se tiene que y = arccos x ⇐⇒ x = cos y con y ∈ [0, π]
Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas 47
Luego, arccos(k) con k ∈ [−1, 1], es el único número α con α ∈ [0, π] para el que cos α = k.
Ejemplo 3
a. arccos(−1) = π pues cos π = −1
−
b. arccos
√
3
=
2
5π
5π
pues cos =
6 6
−√3 2
c. arccos(0) = π
π
pues cos = 0
2 2
1
d. arccos =
2
π
π
pues cos =
3 3
1
2
La representación gráfica de la función coseno y la de la función arco coseno es la siguiente:
Derivada de la función coseno inverso
Figura 2.16: Gráfica de la función coseno y arcocoseno
Como y = arccos x ⇐⇒ x = cos y para y ∈ [0, π], x ∈ [−1, 1], aplicando el teorema de la derivada de la
función inversa se tiene que:
Dx(arccos x) =
1
Dy cos y =
1 −1
=
− sen y sen y
Como cos 2 y+sen 2 y = 1, y sen y ≥ 0 para y ∈ [0, π] entonces sen y = 1 − cos 2 y = √ 1 − x 2 pues x = cos y.
Luego: Dx(arccos x) =
−1
√ 1 − x 2
En general Dx(arccos f(x)) =
Ejemplo 4
con x ∈] − 1, 1[
−1
1 − [f(x)] 2 · Dxf(x), f(x) ∈] − 1, 1[.