Derivada de una función - TEC-Digital

18 Capítulo 2: Derivadas
2 x − 4
3. Sea f la función con ecuación:f(x) = √
x − 2
si
si
x < 2
x ≥ 2
Determinemos
√ √ si esta función es continua y derivable en x = 2. Se tiene que f(2) existe pues f(2) =
2 − 2 = 0 = 0.
Como
lim f(x) = lim
x→2 + x→2 +
Ejercicios
√
x − 2 = 0 y lim f(x) = lim
x→2− x→2− (x2 − 4) = 0
Entonces lim
x→2 f(x) existe y además lim
x→2 f(x) = f(2), por lo que f es una función continua en x = 2.
Estudiemos ahora las derivadas laterales:
a. f ′ +(2) = lim
x→2 +
f(x) − f(2)
x − 2
b. f ′ −(2) = lim
x→2− f(x) − f(2)
x − 2
= lim
x→2 +
√ x − 2 − 0
x − 2
= lim
x→2− x2 − 4 − 0
x − 2
Como f ′ +(2) = f ′ −(2) entonces f ′ (2) no existe.
= lim
x→2 +
√
x − 2
x − 2
= lim
x→2− (x − 2)(x + 2)
x − 2
= lim
x→2 +
1
√ = +∞
x − 2
= lim (x + 2) = 4
x→2− Nuevamente, aunque una función sea continua en un punto esto no garantiza que sea derivable en él.
La representación gráfica de esta función es la siguiente:
-
-
-
2
3
Figura 2.10: Gráfica de f(x)
Note que nuevamente la recta tangente a la curva en x = 2 es una línea vertical.
Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones son: