Derivada de una función - TEC-Digital

Introducción 5
Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada,
se tiene que el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de ésta, se reduce a
encontrar la pendiente de la recta.
Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación y = f(x), donde f es una función continua.
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Figura 2.2: Gráfica de f(x)
Se desea trazar la recta tangente en un punto P (xo, yo) dado de la curva.
Sea PQ la recta secante que pasa por los puntos P (xo, yo) y Q(x, y) de la curva.
La pendiente de esta secante, denotada mS está dada por: ms =
y − yo
=
x − xo
f(x) − f(xo)
x − xo
Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con la parte positiva del
eje X, y como θ es ese ángulo para la recta secante, entonces:
mS = tan θ =
f(x) − f(xo)
x − x0
Supongamos que existe una recta tangente a la curva en P (xo, yo). Sea PT dicha recta.
Mantenemos ahora el punto P fijo y hacemos que el punto Q se aproxime a P, a lo largo de la curva. Cuando
esto sucede, la inclinación θ de la recta secante se aproxima a la inclinación de α de la recta tangente, lo que
puede escribirse como lim θ = α.
Q→P
En igual forma, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente, es decir, lim tan θ = tan α.
Q→P
Además, cuando Q tiende hacia P, la abscisa x tiende hacia xo por lo que lim tan θ = tan α puede escribirse
Q→P
como lim tan θ = tan α.
x→xo
f(x) − f(x0)
Luego lim tan θ = lim
= tan α.
x→xo
x→xo x − xo
Si denotamos por mt(xo) la pendiente de la recta tangente a la curva en P (xo, yo), entonces mt(xo) =
lim
x→xo
f(x) − f(x0)
.
x − xo
Definición 2