Derivada de una función - TEC-Digital

Ejemplo 4
Calcular lim
x→ 1 −
2
Observe que:
ln(1 − 2x)
tan π x
a. x → 1 −
=⇒ x <
2
1
2 =⇒ 2x − 1 < 0 =⇒ 1 − 2x > 0 =⇒ 1 − 2x → 0+ =⇒ ln(1 − 2x) → −∞.
b. x → 1 −
=⇒ πx →
2
π−
=⇒ tan(πx) → +∞.
2
Luego, se presenta la forma −∞
por lo que puede aplicarse el teorema anterior como sigue:
+∞
ln(1 − 2x)
tan π x
lim
x→ 1−
2
= lim
x→ 1−
2
= lim
x→ 1−
2
= lim
x→ 1−
2
−2
1−2x
π sec 2 π x (Recuerde que sec2 θ = 1
cos 2 θ )
−2 cos 2 (π x)
π (1 − 2x)
4 π(cos π x)(sen π x)
−2π
= lim
x→ 1−
2
−2 (cos π x)(sen π x) = 0
lim
x→ 1−
2
ln(1 − 2x)
tan π x
Teorema 4
= 0
forma −2 cos2 ( π
2 ) 0
=
π(1 − 1) 0
Sean f y g funciones derivables para toda x > h, donde h es una constante positiva.
Además, para x > h se cumple que g ′ (x) = 0 sí:
i lim f(x) = +∞ (o lim f(x) = −∞)
x→+∞ x→+∞
ii lim g(x) = +∞ (o lim g(x) = −∞)
x→+∞ x→+∞
f
iii lim
x→+∞
′ (x)
g ′ = L
(x)
f(x)
Entonces el lim
x→+∞ g(x)
f(x) f
lim = lim
x→+∞ g(x) x→+∞
′ (x)
g ′ = L
(x)
también existe y
El teorema también es válido cuando se sustituye x → +∞ por x → −∞
f
Además, si lim
x→+∞
′ (x)
g ′ f(x)
= ∞ entonces lim = ∞
(x) x→+∞ g(x)
Regla de L’Hôpital 79