Derivada de una función - TEC-Digital

72 Capítulo 2: Derivadas
Como f ′ (c) = 1 entonces 3c2 + 2c − 1 = 1 por lo que c = −1 + √ 7
3
o c = −1 − √ 7
.
3
−1 +
Luego en
√ 7
,
3
11 − 5√
7
27
−1 −
y en
√ 7
,
3
11 + 5√
7
27
la recta tangente es paralela a la recta
secante que pasa por los puntos (−2, −2) y (1, 1).
2. Como f es continua en el intervalo [−10, 10] y derivable en el intervalo ] − 10, 10[ cumplirá ambas condiciones
en el intervalo [−6, 8] = [a, b].
Luego debe existir por lo menos un número c ∈] − 6, 8[ tal que
f ′ (c) =
Como f ′ (x) =
f(8) − f(−6)
8 − (−6)
= 6 − 8
14
= −1
7
−x
√ 10 − x 2 , entonces f ′ (c) =
Resolviendo la ecuación se obtiene que c = √ 2 o c = − √ 2
−c
√
100 − c2 por lo que f ′ (c) = −1
7 =
−c
√ 100 − c 2
Aunque ambos valores de c pertenecen al intervalo ] − 6, 8[, se tiene que f ′ (x) = −1
únicamente cuando
7
c = √ 2.
Luego en P ( √ 2, 7 √ 2) la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (−6, 8) y (8, 6).
Gráficamente se tiene:
Figura 2.35: Gráfica de f(x) = √ 10 − x 2
El análisis de las otras funciones queda como ejercicio para el estudiante.
2.1.18 Teorema de Gauchy del valor medio (o extensión del teorema del valor
medio para derivadas)
Teorema 1
Sean f y g dos funciones continuas sobre un intervalo cerrado [a, b] y derivables sobre el intervalo abierto ]a, b[.