Derivada de una función - TEC-Digital

Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas 51
Figura 2.18: Gráfica de la función cotangente y arcocotangente
Derivada de la función cotangente inversa
Como y = arccot x ⇐⇒ x = cot y para y ∈]0, π[, x ∈ R, aplicando el teorema de la derivada de la función
inversa se tiene que:
Dx(arccot x) =
1
Dy cot y =
1
− csc2 −1
=
y csc2 y
Como cot 2 y + 1 = csc 2 y, y x = cot y entonces csc 2 y = 1 + x 2 por lo que:
Dx(arccot x) = −1
, x ∈ R
1 + x2 −1
En general Dx(arccot f(x)) =
· Dxf(x)
1 + [f(x)] 2
Ejemplo 8
1. Dx(arccot(7 √ x)) =
−1
1 + (7 √ x) 2 · Dx(7 √ −7
x) =
2 √ , x > 0
x(1 + 49x)
2. Dx(arccot 2 x) = 2 arccot x · −1 −2 arccot x
=
1 + x2 1 + x2 , x ∈ R
3. Dx(arccot(e x )) = −ex
, x ∈ R
1 + e2x Ejercicios.
Determine Dxh(x) si:
a. h(x) =
2x
arccot x
b. h(x) = √ arccot x