Derivada de una función - TEC-Digital

El teorema del valor medio puede interpretarse geométricamente como sigue:
Consideremos la representación gráfica de una curva continua f:
Teorema del valor medio para derivadas 71
Figura 2.34: Interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio
f(b) − f(a)
La recta secante que une los puntos P (a, f(a)), Q(b, f(b)) tiene como pendiente ms = . Según
b − a
el teorema del valor medio, debe existir algún punto sobre la curva, localizado entre P y Q, en el que la recta
tangente sea paralela a la recta secante que pasa por P y Q; es decir, existe algún número c ∈]a, b[ tal que
ms = f ′ f(b) − f(a)
(c) = .
b − a
Ejemplo 1
Para cada función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en
el intervalo dado, y determinar un valor adecuado c que satisfaga la conclusión de este teorema:
1. f(x) = x 3 + x 2 − x; [−2, 1]
2. f(x) = √ 10 − x 2 ; [−6, 8]
3. f(x) = x − 1 + 1
x − 1 ;
4. f(x) = x2 + 4x
; [2, 6]
x − 7
Solución:
3
, 3
2
1. Por ser f una función polinomial, es derivable para toda x ∈ R por lo que debe existir por lo menos un
número c ∈] − 2, 1[ tal que:
f ′ (c) =
f(1) − f(−2)
1 − (−2)
= 1 − (−2)
3
= 1
Además f ′ (x) = 3x 2 + 2x − 1 por lo que f ′ (c) = 3c 2 + 2c − 1.