Derivada de una función - TEC-Digital

= 4
3 π(3r2 )
= 4πr 2 expresión que corresponde precisamente al área de la superficie de la esfera.
Diferenciales
Sea f una función definida por y = f(x), derivable sobre un intervalo S.
Diferenciales 29
Sea △x diferente de cero tal que △x + x pertenece al dominio de f y el punto (x + △x, f(x + △x)) esté en la
gráfica de f como se muestra en la siguiente figura:
Sabemos de la definición de derivada que:
f ′ f(x + △x) − f(x)
(x) = lim
△x→0 △x
Figura 2.13: Gráfica de f(x)
si el límite existe
luego:
△y
lim
△x→0 △x − f ′
(x)
△y
= lim − lim
△x→0 △x △x→0 f ′ (x) = f ′ (x) − f ′ (x) = 0
de donde para cualquier ε > 0 existe δ > 0 tal que
△y
△x
− f ′
(x)
< ε siempre que 0 < | △ x| < δ o sea,
| △ y − f ′ (x) · △x| < ε △ x siempre que 0 < | △ x| < δ.
Lo anterior significa que | △ x − f ′ (x) △ x| puede hacerse tan pequeño como se quiera, tomando | △ x| suficientemente
pequeño.
Luego, f ′ (x) △ x es tan buena aproximación para el incremento | △ y| como se desee, tomando | △ x| suficientemente
pequeño.
Definición 1
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