Derivada de una función - TEC-Digital

48 Capítulo 2: Derivadas
1. Dx(arccos(3x)) =
2. Dx
1
arccos =
x
3. Dx(arccos(e x )) =
Ejercicios.
Determine Dxg(x) si:
−1
1 − (3x) 2 · Dx(3x)
−3
1
= √ , |x| <
1 − 9x2 3
a. g(x) = arccos(2x + 1)
2x
b. g(x) = arccos
arccos x
Función tangente inversa
−1
1 − 1
x
2 · Dx
1
=
x
1
x2
1 − 1
x2 , |x| > 1
−1
1 − (ex ) 2 · ee = −ex
√ , x ∈] − 1, 0[
1 − e2x Igual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la función tangente al intervalo
en el que es continua y estrictamente creciente, por lo que posee función inversa.
Luego se define la función tangente como:
G =
(x, y) tal que y = tan x, con x ∈
−π π
,
2 2
, y ∈ R
Se define la función tangente inversa, también llamada arco tangente, y denotada arctan, como:
f : R →
−π π
, , f(x) = arctan x
2 2
−π π
Se tiene que y = arctan x ⇐⇒ x = tan y con y ∈ , , x ∈ R
2 2
−π π
Luego, arctan(k) con k ∈ R es el único número α con α ∈ ,
2 2
Ejemplo 5
a. arctan 1 = π
4
π pues tan 4 = 1
b. arctan 0 = 0 pues tan 0 = 0
−1
c. arctan √3
Además:
= −π
6
π−
lim arctan x =
x→+∞ 2
−π
pues tan( 6 ) =
√3 −1
pues lim
x→ π−
2
tan x = +∞
para el que tan α = k.
−π π
, ,
2 2