Derivada de una función - TEC-Digital
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82 Capítulo 2: <strong>Derivada</strong>s<br />
= lim<br />
x→1− (1 − x) sen <br />
π x<br />
2<br />
cos <br />
π x<br />
2<br />
<br />
π<br />
= lim sen<br />
x→1− 2 x<br />
<br />
· lim<br />
x→1− (1 − x)<br />
cos π<br />
2 x<br />
= 1 · lim<br />
x→1 −<br />
−1<br />
−π<br />
2 sen 2<br />
π =<br />
2 x π<br />
Otras formas in<strong>de</strong>terminadas<br />
Si en el lim<br />
x→a [f(x)] g(x) se tiene que:<br />
1. = lim<br />
x→a f(x) = 0 y = lim<br />
x→a g(x) = 0<br />
ó<br />
2. = lim<br />
x→a f(x) = ∞ y = lim<br />
x→a g(x) = 0<br />
ó<br />
3. = lim<br />
x→a f(x) = 1 y = lim<br />
x→a g(x) = ∞<br />
entonces dicho límite presenta las formas 0 0 , ∞ 0 , y 1 ∞ respectivamente.<br />
Para calcular este tipo <strong>de</strong> límites se sigue el siguiente procedimiento:<br />
Consi<strong>de</strong>remos la igualdad y = [f(x)] g(x) , tomando logaritmo natural a ambos lados <strong>de</strong> ella se tiene: ln y =<br />
g(x)[ln f(x)]. Note que en la expresión g(x)[ln f(x)] presenta en todos los casos la forma 0 · ∞.<br />
Los límites en que se presenta esta forma in<strong>de</strong>terminada fueron estudiados anteriormente.<br />
Tenemos entonces que:<br />
lim ln y = lim g(x)[ln f(x)]<br />
x→a x→a<br />
Como la <strong>función</strong> logaritmo es continua po<strong>de</strong>mos escribir:<br />
ln[ lim<br />
x→a y] = lim<br />
x→a [g(x) ln[f(x)]]<br />
lim g(x)[ln f(x)]<br />
x→a<br />
=⇒ lim y = e<br />
x→a<br />
=⇒ lim [f(x)]<br />
x→a g(x) lim g(x)[ln f(x)]<br />
x→a<br />
= e<br />
Ejemplo 7<br />
Utilizando el procedimiento <strong>de</strong>scrito anteriormente, calculemos los siguientes límites:
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