Derivada de una función - TEC-Digital

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32 Capítulo 2: Derivadas Sea f(R) = y = 4 3 πR3 la ecuación para el volumen de la esfera. En este caso conocemos la diferencial del volumen de la esfera que está dada por dV = 32.4π cm 3 . Debemos averiguar la diferencial o el incremento del radio, es decir dx = △x(dR = △R) Como dV = f ′ (x)dR = 4πR 2 dR; dV = 32.4π; cm 3 y R = 9 cm entonces: 32.4π cm 3 = 4π(9 cm) 2 dR y por tanto dR = 0.1 cm. El radio de la esfera se alargó 0.1 cm. Ejercicios. Resuelva los problemas siguientes: 1. Hallar el valor aproximado de (99) −1 . 2. Sea u = f(x) y v = g(x), donde f y g son funciones derivables sobre un dominio común. Exprese la diferencial del producto uv en términos de las diferenciales de u y v. 3. Un paralelepípedo rectangular de 10cm de altura tiene por base un cuadrado cuyo lado es igual a 20cm. ¿Cuánto aumentará el volumen del paralelepípedo si el lado de la base se alarga 0.02cm? 4. De cada cara de un bloque cúbico de madera se saca una capa de 0.3cm de espesor. Si el bloque tenía originalmente 7cm de arista, aproximadamente cuánto va a decrecer el volumen a causa del proceso? Nota: A partir de la notación diferencial se tiene que dy = f ′ (x)dx por lo que se puede dividir por dx obteniéndose por tanto que f ′ (x) = dy dx . El usar el cociente de diferenciales para denotar la derivada de f se debe a Leibniz y se utiliza a veces al denotar las derivadas de orden superior. 2.1.8 Derivadas de orden superior Si f es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como: f ′ = {(x, y)/ y = Dxf(x)} para x en el dominio M de f. f Si para algunos valores x ∈ M existe el lim h→0 ′ (x + h) − f ′ (x) se dice que existe la segunda derivada de la h función f que se denota por f ′′ (x) o D2 xf(x), que equivale a Dx[Dxf(x)]. O sea, la segunda derivada de la función f se obtiene derivando la primera derivada de la función. Ejemplo 1
1. Si f(x) = 5x 3 + 6x 2 − 5x + 1 entonces: f ′ (x) = 15x 2 + 12x − 5 y f ′′ (x) = 30x + 12 2. Si g(x) = x2 + 3x x − 1 entonces: g ′ (x) = (x − 1)(2x + 3) − (x2 + 3x) (x − 1) 2 = x2 − 2x − 3 (x − 1) 2 g ′′ (x) = (x − 1)2 (2x − 2) − (x 2 − 2x − 3)2(x − 1) (x − 1) 4 = (x − 1)[(x − 1)(2x − 2) − (x2 − 2x − 3)] (x − 1) 4 Por tanto g ′′ (x) = 8 (x − 1) 3 y derivando nuevamente Derivadas de orden superior 33 Similarmente podemos decir que la derivada de D 2 xf(x) respecto a “x” es la tercera derivada de f respecto a “x” que se denota D 3 xf(x) o f ′′′ (x). La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada D 4 xf(x) y así podríamos continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de f que se denota por D n xf(x) o f (n) (x). Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n. Ejemplo 2 1. Determinar g ′′ (x) si g(x) = √ x 2 + 2x + 3, donde Dg = R. Solución: Obtenemos primero g ′ (x) g ′ (x) = x + 1 √ x 2 + 2x + 3 Luego: g ′′ √ x2 + 2x + 3 − (x + 1) · (x) = (x2 + 2x + 3) 2 g ′′ (x) = 2 (x 2 + 2x + 3) √ x 2 + 2x + 3 (x+1) √ x 2 +2x+3 2. Determinar f ′′′ (x) si f(x) = 2x 1 3 − 4x 2 5 + x Solución: y se tiene que:
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Luego: sen u lim u→0 u u −2
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lim x→ π 2 1 sen x (sec x −
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