Derivada de una función - TEC-Digital

−π π 3π 5π −5π −3π
, , , , , ,
2 2 2 2 2 2
Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas 45
etc, la función seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podría escogerse alguno de ellos para definir
−π π
la función inversa de la función seno. Usualmente se toma el intervalo , . Luego, se define la función
2 2
seno como:
−π π
F = (x, y) tal que y = sen x, con x ∈ , y ∈ [−1, 1]
2 2
−π π
La función F así definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo , , por lo que existe una
2 2
única función, definida en el intervalo [−1, 1], llamada función seno inverso. Esta función, denotada arcsen, se
define como sigue:
−π π
f : [−1, 1] → , , f(x) = arcsen x
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−π π
Se tiene entonces que y = arcsen x ⇐⇒ x = sen y, y ∈ , .
2 2
−π π
Luego, arcsen(r) con r ∈ [−1, 1], es el único número t ∈ , para el cual sen t = r.
2 2
Ejemplo 1
a. arcsen 0 = 0 pues sen 0 = 0.
1
b. arcsen √2 = π
π
pues sen =
4 4
1
√
2
−1
c. arcsen =
2
−π
−π
pues sen =
3
3
−1
2
d. arcsen
√
3
2
= π π
pues sen
6 6 =
√
3
2
La representanción gráfica de la función seno y de la función arcoseno es la siguiente:
Figura 2.15: Gráfica de la función seno y arcoseno