Derivada de una función - TEC-Digital

Ejercicios.
Determine f ′ (x) si
csc x2
a. f(x) = e
b. f(x) = 3√ csc x
2 x
c. f(x) = cot , x = −1
x + 1
2.1.12 Derivadas de las funciones inversas
Derivadas de las funciones inversas 43
Previo al estudio de las funciones trigonométricas inversas, es necesario determinar la derivada de la función
inversa de una función dada. Para ello consideremos el siguiente teorema.
Teorema 1
Sea f una función estrictamente creciente y continua en un intervalo [a, b] y g la función inversa de f.
Si f ′ (x) existe y es diferente de cero para x ∈]a, b[, entonces la función derivada g ′ (y) también existe y no es
nula en el correspondiente “y” donde y = f(x).
Además se tiene que g ′ (y) = 1
f ′ (x) , o sea Dyg(y) =
1
Dxf(x) .
Note que si y = f(x) entonces x = g(y) corresponde a f −1 (y), y Dyf −1 (y) = 1
Dxy
Demostración: Al final del capítulo
Ejemplo 1
Consideremos la función definida por:
f : ]0, +∞[−→] − 3, +∞[, f(x) = y = x 2 − 3
Esta función posee función inversa definida por:
g : ] − 3, +∞[−→]0, +∞[, g(y) = √ y + 3
Se tiene que g ′ (y) =
Como
1
2 √ y + 3
y = x 2 + 3 entonces g ′ (y) =
g ′ (x) =
1
Dx(x2 1
=
− 3) f ′ (x)
1
2 √ x 2 − 3 + 3
Note que: √ x 2 = |x| = x pues x ∈]0, +∞[
1
=
2 √ 1
=
x2 2x