Derivada de una función - TEC-Digital

Ejercicios:
Calcule los límites siguientes utilizando la Regla de L’Hôpital.
Antes de aplicarla asegúrese de tener la forma indeterminada 0
0 .
1. lim
y→π− sen y
√
π − y
sen u
2. lim √
u→0 u
3. lim
x→ π
2
ln(sen x)
(π − 2x) 2
a
4. lim
x→0
x − bx x
Teorema 2
Regla de L’Hôpital 77
Sean f y g funciones derivables, (y por tanto continuas), en un intervalo [h, +∞[, donde h es una constante
positiva. Sea g ′ (x) = 0 para x ∈ [h, +∞[.
f
Si lim f(x) = 0, y lim g(x) = 0 y si lim
x→+∞ x→+∞ x→+∞
′ (x)
f
Además, si lim
x→+∞
′ (x)
g ′ = +∞ entonces lim
(x) x→+∞
Prueba: Al final del capítulo
g ′ (x)
f(x)
= +∞
g(x)
f(x)
= L entonces lim = L
x→+∞ g(x)
Este teorema nos permite aplicar la regla de L’Hôpital a límites en que se presenta la forma 0
, cuando
0
la variable independiente tiende hacia +∞. También puede aplicarse cuando x → infty y se tiene que
f(x) → 0, y g(x) → 0.
Ejemplo 3
Calculemos los siguientes límites utilizando el teorema anterior.
1. lim
x→+∞
1
x 2
sen 2 2
x
Cuando x → +∞ se tiene que 1 2
→ 0, y → 0 por lo que sen2
x2 x
Se presenta la forma 0
0
Luego:
lim
x→+∞
= lim
x→+∞
1
x 2
sen 2 2
x
2 sen 2
x
−2
x−3 · cos 2
y podemos aplicar el teorema anterior.
x
· −2
x 2
2
→ 0.
x