Derivada de una función - TEC-Digital

. arcsec(−1) = π pues sec(π) = −1
c. arcsec(2) = π
3
pues sec
π
= 2
3
La representación gráfica de la función arcosecante es la siguiente:
Note que:
π−
lim arcsec x =
x→+∞ 2
−π−
lim arcsec x =
x→−∞ 2
Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas 53
Figura 2.20: Gráfica de la función arcosecante
pues lim
x→ π−
2
sec x = +∞
pues lim
x→ −π−
2
sec x = −∞
Derivada de la función secante inversa
Como y = arcsec x ⇐⇒ x = sec y con y ∈
−π, −π
2
∪
teorema de la derivada de la función inversa se obtiene que:
Dx(arcsec x) =
1
Dy sec y =
1
sec y tan y
Como tan 2 y = sec 2 y − 1, y tan y > 0 cuando y ∈
√ x 2 − 1 pues x = sec y
−π, −π
2
1
Luego Dx(arcsec x) =
x √ x2 , con |x| > 1
− 1
1
En general, si u = f(x) con |f(x)| > 1 entonces Dx(arcsec u) =
u √ u2 · Dxu
− 1
Ejemplo 10
0, π
, x ∈ ] − ∞, −1[ ∪ ]1, +∞[, utilizando el
2
∪
0, π
, entonces tan y =
2
sec2 y − 1 =