Derivada de una función - TEC-Digital

Regla de L’Hôpital 75
f(x)
Aún cuando limx→a f(x) = 0 y limx→a g(x) = 0, a veces es posible determinar lim .
x→a g(x)
Por ejemplo el
2x
lim
x→2
2 − 3x − 2
x2 − x − 2
que es de la forma 0
(2x + 1)(x − 2) 2x + 1 5
puede escribirse como lim
= lim =
0 x→2 (x + 1)(x − 2) x→2 x − 2 2
ln (x − 1)
Sin embargo, existen límites como lim
en los que tanto el numerador como el denominador tienden
x→2 x − 2
a cero cuando x tiende a 2, para los que no hemos dado ningún procedimiento que permita determinar su valor.
El siguiente teorema llamado Regla de L’Hôpital proporciona el instrumento adecuado para la evaluación de tal
tipo de límites.
Regla de L’Hôpital
Teorema 1
Sean f y g funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Gauchy en cierto intervalo [a, b] y tales
que f(a) = g(a) = 0.
f
Entonces, si lim
x→a
′ (x)
g ′ (x)
f(x)
existe , también existirá lim
x→a g(x)
f
También, si lim
x→a
′ (x)
g ′ f(x)
= ∞ entonces lim = ∞
(x) x→a g(x)
Demostración Al final del capítulo.
Ejemplo 1
e
Calculemos el lim
x→0
x − e−x sen x
utilizando el teorema anterior.
f(x) f
y además lim = lim
x→a g(x) x→a
′ (x)
g ′ (x)
Observe que e 0 − e 0 = 1 − 1 = 0, sen 0 = 0 por lo que se tiene la forma 0
0 .
Luego:
e
lim
x→0
x − e−x sen x
e
= lim
x→0
x − e−x (−1)
cos x
e
= lim
x→0
x + e−x 2
= = 2
cos x 1
Nota: Si f ′ (a) = 0 y g ′ (a) = 0 y las derivadas f ′ (x) y g ′ (x) satisfacen las condiciones que se especificaron
para las funciones f y g, según la hipótesis de el teorema de la Regla de L’Hôpital, entonces puede aplicarse
de nuevo la Regla de L’Hôpital, obteniéndose que:
f
lim
x→a
′ (x)
g ′ f
= lim
(x) x→a
′′ (x)
g ′′ (x) .
Puede operarse así sucesivamente siempre que se presente la forma 0
0 .
Ejemplo 2