Derivada de una función - TEC-Digital

56 Capítulo 2: Derivadas
Note que:
lim
x→+∞ arccsc x = 0+ pues lim csc x = +∞
+
x→0
lim
x→−∞ arccsc x = −π+ pues lim csc x = −∞
+
x→−π
Derivada de la función cosecante inversa
Como y = arccsc x ⇐⇒ x = csc y para y ∈ −π, −π
∪
2
teorema de la derivada de la función inversa se obtiene que:
1
Dx(arccsc x) =
Dy csc y =
1
− csc y cot y =
−1
csc y cot y
Como cot2 y = csc2
y−1, y cot y > 0 para y ∈ −π, −π
2
pues x = csc y.
−1
Luego Dx(arccsc x) =
x √ x2 , para |x| > 1
− 1
−1
En general, si u = f(x) con |f(x)| > 1 entonces Dx(arccsc u) =
u √ u2 · Dxu
− 1
Ejemplo 12
1. Dx(arccsc x 2 −1
) =
x2 (x) 4 − 1 · Dx(x 2 −2x
) =
x2√x4 − 1 =
−2
x √ x4 , x > 1
− 1
2. Dx(arccsc(e x )) =
Ejercicios.
Determine Dxh(x) si:
a. h(x) = arccsc( 3√ x)
b. h(x) = arccsc( 2
x )
Nota:
−1
e x√ e 2x − 1 · Dxe x =
−e x
e x√ e 2x − 1 =
∪
0, π
, x ∈] − ∞, −1[ ∪ ]1, +∞[, utilizando el
2
0, π
, entonces cot y =
2
csc2 y − 1 = √ x2 − 1
−1
√ e 2x − 1 , x > 0
La función cosecante inversa también suele definirse por la siguiente igualdad:
1
arccsc x = arcsen con |x| ≥ 1.
x
−1
Además Dx arccsc x =
|x| √ x2 con |x| > 1 , igualdad que debe comprobar el estudiante como ejercicio.
− 1
Verifiquemos que arccsc x = arcsec 1
x .
arccsc x = y ⇐⇒ csc y = x ⇐⇒ 1
1
sen y = x ⇐⇒ x = sen y ⇐⇒ arcsen
1
x = y
Luego arccsc x = arcsen
1
x , y se verifica la igualdad.