Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 27 Pág. 37SOLUCIÓN EJERCICIO 4.-(1) Expresemos los planos π λ / (1 + 2λ) x + (1 - λ) y + (1 + 3λ) z + (2λ - 1) = 0, dela siguiente forma:π λ / x + 2λx + y - λy + z + 3λz + 2λ - 1 = 0 Yπ λ / x + y + z - 1 + λ (2x - y + 3z + 2) = 0luego los planos π λ los hemos expresado como un haz de planos determinado por los planosx + y + z - 1 = 0 y 2x - y + 3z + 2 = 0si estos dos planos se cortan en una recta r, habremos demostrado que todos los planos π λpasan por esa misma recta r, comprobémoslox + y + z = 1 ⎫2x − y + 3z= −2⎬⎭⎛ 1 1 1 1 ⎞⎜⎟⎝ 2 −1 3 −2 ⎠Expresemos el sistema en forma matricial y discutámoslomediante el método de reducción de Gauss.Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 1 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - 2 · [1ªf.]⎛ 1 1 1 1 ⎞ El sistema está triangulado inferiormente. Hay dos ecuaciones y⎜⎟⎝ 0 −3 1 −4 ⎠tres incógnitas, se trata de un sistema compatible indeterminadouniparamétrico, cuya solución es una recta r, que es precisamenteen la que se cortan los dos planos, luego todos los planos π λ se cortan en una recta.(2) Calculemos, en primer lugar, la ecuación de la recta r en forma paramétrica, para elloterminemos de resolver el sistema al que habíamos llegado en el apartado anterior⎛ 1 1 1 1 ⎞⎜⎟⎝ 0 −3 1 −4 ⎠⎛ 1 1⎜⎝ 0 −3⎛ 3 0⎜⎝ 0 −31−z ⎞⎟−4− z ⎠−1−4z⎞⎟−4− z ⎠La incógnita que nos sobra, la z, la pasamos al segundomiembro como incógnita secundaria.Triangulemos superiormente.Tomemos como pivote el elemento a 22 = -3 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: 3 · [1ªf.] + [2ªf.]La solución es la recta r cuyas ecuaciones paramétricas⎧ 1 4x = − − µ⎪ 3 3⎪r ≡ ⎨ 4 1y = + µ⎪ 3 3⎪⎩ z = µExpresemos también en paramétricas la ecuación de la recta s:⎧ x = 1+4α⎪s ≡ ⎨ y = −1−α⎪⎩ z = 2 − 3αEstudiemos la posición relativa de ambas rectas, para lo cual, identificamos entre sí las x,las y, y las z, de ambas rectas: