Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 33 Pág. 119- El problema de la continuidad está en el punto 1, donde hay un cambio en elcomportamiento de la función. Estudiemos la continuidad en el punto 1.Calculemos los límites laterales y el valor de la función en dicho punto, para ver si existeny coinciden.lim f ( x ) = lim a ( x − 1) = a ( 1− 1)= 0 ⎫−−x→1 x→1⎪x < 1⎪lim f ( x ) = lim x Ln( x) = 1• Ln(1) = 0 ⎬ ⇒ lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1) = 0+ +− +x→1 x→1 ⎪ x→1 x→1x > 1f (1) = a ( 1− 1)= 0⎭⎪La función es continua en x = 1, para cualquier valor de a.Luego f(x) es continua en todo su dominio, (-1, 4), para todo valor de a.Estudiemos la derivabilidad.Una función será derivable en un punto, si las derivadas laterales coinciden. Y para quelo sea en un intervalo lo ha de ser en todos los puntos del intervalo. Pero previamente debe sercontinua para poder ser derivable, ya que la no continuidad implica la no derivabilidad; ennuestro caso se ha justificado que es continua en su dominio para cualquier valor de a.- Para valores de x comprendidos entre -1 y 1, -1 < x < 1, es una función polinómica y lasfunciones polinómicas son derivables en todo ú; luego f es derivable para -1 < x < 1, siendola función derivada, a.- Para valores de x > 1, f es derivable, por ser el producto de una función polinómica yde la función elemental logaritmo neperiano, la primera derivable en todo ú y la segunda paravalores mayores que cero, por tanto la función producto será derivable para valores de xmayores que cero; luego f es derivable para x > 1, siendo la función derivada, Ln(x) + 1.Una primera aproximación de la función derivada, donde ya sabemos que es derivable es⎧ asi − 1 < x < 1f ′( x ) = ⎨⎩ Ln( x)+ 1 si x > 1- El problema está inicalmente en el punto 1.En el punto 1 será derivable, si las derivadas laterales coinciden ya que es continua endicho punto.−f ′ ( 1 ) = lim f ′ ( x ) = lim a = a⎫−−x→1 x→1⎪x < 1 x < 1⎪⎬ ⇒+f ′ ( 1 ) = lim f ′ ( x ) = lim Ln( x) + 1 = Ln(1) + 1 = 1 ⎪++x→1 x→1⎪x > 1 x > 1⎭luego la función f (x) es derivable en x = 1, si a = 1.La función f (x) es derivable en su dominio siempre que a = 1.La función f (x) y la función derivada, f ´(x), quedarán finalmente así:f ( x ) =⎧⎨⎩( x − 1)si − 1 < x ≤ 1x Ln( x)si x > 1f⎧⎨⎩− +f ′ (1 ) = f ′ ( 1 ) ⇒a = 1⎧ 1 si − 1 < x ≤ 1′( x ) = ⎨⎩ Ln( x)+ 1 si x > 1