Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 30 Pág. 65⎧⎪= λπ ≡ ⎨ y = µ⎩⎪xz = 7 − 3λ − 2µUn punto genérico, H, del plano π tendrá de coordenadas:H = (λ, µ, 7-3λ-2µ)El vector PH →tiene de coordenadas:PH → = ( λ , µ , 7 − 3λ − 2µ ) − ( 1, 2,− 2 ) = ( λ − 1, µ − 2, 9 − 3λ − 2µ)este vector verifica la condición de ser perpendicular a los dosvectores, u y v, de dirección del plano, es decir:P´→ r → r ⎫PH ⊥ u ⇒ PH • u = 0 ⎪ ( λ − 1, µ − 2,9 − 3λ − 2µ) •(1, 0, − 3) = 0→→⎬ ⇒⎫r r ( λ − 1, µ − 2,9 − 3λ − 2µ) •(0, 1, − 2) = 0 ⎬⎭⇒PH ⊥ v ⇒ PH•v = 0 ⎭⎪λ − 1− 27 + 9λ + 6µ= 0µ − 2 − 18 + 6λ + 4µ= 010λ + 6µ= 28 5λ + 3µ= 14} ⇒λ + µ = } ⇒6 5 20 6λ + 5µ= 20 }resolvamos este sistema mediante el método de reducción de Gauss-Jordan. Para elloexpresemos dicho sistema en forma matricial.5 3( 6 5 1420 )5 3( 0 7 1416 )35 0( 0 7 1650 )7 0( 0 7 1016 )Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 5 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: 5 · [2ªf.] - 6 · [1ªf.]Triangulemos superiormente.Tomemos como pivote el elemento a 22 = 7 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: 7 · [1ªf.] - 3 · [2ªf.]Simplifiquemos la 1ª fila por 5.La solución es:λ = 10/7 ; µ = 16/7Luego el punto H y el vector PH →tienen de coordenadas, respectivamente:H = ( − − ) = ⎛− −⎝⎜ 10 16 3• 10 2•16λ , µ , λ µ , ,⎞⎟ = ⎛⎜10 167 3 2, , − 137⎞⎟7 7 7 7 ⎠ ⎝ 7 7 7 ⎠→PH = ( − 1, − 2, 9 − − ) = ⎛⎜ 10λ µ 3λ 2µ− 1 16 3• 10 2•16− 2 9 − − ⎞⎟ =⎝⎛ ⎠ ⎝ ⎜ 3 2 1, ,, , ⎞⎟7 7 7 7 7 7 7 ⎠→ →El punto P´, simétrico de P respecto del plano π, verificará que PH = HP′. Supongamosque P´tiene de coordenadas (a, b, c):→ →PH = HP ′ ⇒ ⎛ ( )⎝ ⎜ 3 2 1⎞ ⎟ = − ⎛⎜ 10 16 13, , a, b, c , , − ⎞⎟ ⇒7 7 7 ⎠ ⎝ 7 7 7 ⎠⎧ 3 10 13= a − ⎧a=⎪ 7 7 ⎪ 7⎛⎜ 3 2 1 10 16 13 2 16 1813 18, , ⎞⎟ = ⎛⎜ − , − , + ⎞ ⎪⎪a b c ⎟ ⇒ = −, ,⎝ 7 7 7 ⎠ ⎝ 7 7 7 ⎠ ⎨ b ⇒7 7⎨b= ⇒ P ′ ⎛⎜−⎪7 ⎝ 7 71 13⎪ 12⎪ = c + ⎪c= −⎩ 7 7 ⎩ 7⇒PHuv127⎞⎠⎟